Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác \(ABC\) đều có độ dài cạnh bằng \(3a\). Lấy điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC\) sao cho \(MB = 2MC.\) Tích vô hướng của hai vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {MC} \) bằng
A. \(\frac{{{a^2}}}{2}\)
B. \( – \frac{{{a^2}}}{2}\)
C. \({a^2}\)
D. \( – {a^2}\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} = \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {BA} = – \overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} = – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} \)
\(\overrightarrow {MC} = \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AB} – \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} \)
Ta có: \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {MC} = \left( { – \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {AB} – \frac{1}{3}\overrightarrow {AC} } \right)\)
\(\begin{array}{l} = – \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} – \frac{1}{9}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = – \frac{1}{9}{\overrightarrow {AB} ^2} + \frac{2}{9}{\overrightarrow {AC} ^2} – \frac{1}{9}.AB.AC.\cos \widehat {BAC}\\ = – \frac{1}{9}.9{a^2} + \frac{2}{9}.9{a^2} – \frac{1}{9}.9{a^2}.\cos {60^ \circ }\\ = – {a^2} + 2{a^2} – {a^2}.\frac{1}{2} = \frac{{{a^2}}}{2}\end{array}\)
Chọn A.