Bài 4.59 trang 69 SBT Toán 10 Kết nối tri thức: Cho hình bình hành (ABCD) tâm (O.) Gọi (M,,,N) theo thứ tự là trung điểm của...

Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O.$ Gọi $M,\,\,N$ theo thứ tự là trung điểm của $BC,\,\,AD.$ Gọi $I,\,\,J$ lần lượt là giao điểm của $BD$ với $AM,\,\,CN.$ Xét các cevtơ khác $\overrightarrow 0 ,$ các đầu mút lấy từ các điểm $A,\,\,B,\,\,C,\,\,D,\,\,M,\,\,N,\,\,I,\,\,J,\,\,O.$

a)      Hãy chỉ ra những vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AB} ;$ những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow {AB} .$

b)     Chứng minh ằng $BI = IJ = JD.$

a) Các vectơ bằng vectơ $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {NM} ,\,\,\overrightarrow {CD}$

Các vectơ cùng hướng với $\overrightarrow {AB}$ là: $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {NO} ,\,\,\overrightarrow {OM} ,\,\,\overrightarrow {CD}$

b) Ta có: $I$ là trọng tâm của $\Delta ABC$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {BI}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {BO}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}$      (1)

Ta có: $J$ là trọng tâm của $\Delta ACD$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {JD}  = \frac{2}{3}\overrightarrow {OD}  = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}$      (2)

Ta có: $\overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {BI}  + \overrightarrow {IJ}  + \overrightarrow {JD}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {BD}  - \overrightarrow {BI}  - \overrightarrow {JD}  = \overrightarrow {BD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}  - \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {BD}$      (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ $\overrightarrow {BI}  = \overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {JD}$ $\Rightarrow$ $BI = IJ = JD$