Bài 1.57 trang 46 SBT Toán Hình học 10: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P là những điểm được xác định như...

Cho tam giác ABC. Gọi M, N , P là những điểm được xác định như sau:

$\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC} ,\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA} ,\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}$

a) Chứng minh $2\overrightarrow {OM}  = 3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}$ với mọi điểm O.

b) Chứng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm.

Gợi ý làm bài

(Xem h.1.69)

a) $\(3\overrightarrow {OC}  - \overrightarrow {OB}  = 3(\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MC} ) - (\overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MB} )\)

$= 3(\overrightarrow {OM}  - \overrightarrow {OM} ) + (3\overrightarrow {MC}  - \overrightarrow {MB} ) = 2\overrightarrow {OM}$

b) Gọi S, Q và R lần lượt là trung điểm của BC, CA và AB.

$\overrightarrow {MB}  = 3\overrightarrow {MC}  =  > \overrightarrow {CM}  = \overrightarrow {SC}$

$\overrightarrow {NC}  = 3\overrightarrow {NA}  =  > \overrightarrow {AN}  = \overrightarrow {CQ}$

$\overrightarrow {PA}  = 3\overrightarrow {PB}  =  > \overrightarrow {BP}  = \overrightarrow {RB}  = \overrightarrow {QS}$

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0$

Ta có:

$\eqalign{ & \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {GP} \cr & = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CM} + \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BP} \cr}$

$\overrightarrow { = (GA}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GC} ) + (\overrightarrow {SC}  + \overrightarrow {CQ}  + \overrightarrow {QS} )$

$= \overrightarrow 0  + \overrightarrow 0$

Vậy G là trọng tâm của tam giác MNP.