Bài 13 trang 106 SBT Toán Đại số 10: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của...

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số sau trên tập xác định của nó

$y = \sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x}$

Gợi ý làm bài

Vế phải có nghĩa khi $1 \le x \le 5$

Ta có: ${y^2} = {(\sqrt {x - 1}  + \sqrt {5 - x} )^2} = 4 + 2\sqrt {(x - 1)(5 - x)}$

=> $\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {y^2} \ge 4,\forall x \in {\rm{[}}1;5] \hfill \cr {y^2} \le 4 + (x - 1) + (5 - x) = 8 \hfill \cr} \right. \cr & = > \left\{ \matrix{ y \ge 2 \hfill \cr y \le 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\forall x \in {\rm{[}}1;5] \cr}$

Hơn nữa $y = 2 \Leftrightarrow (x - 1)(5 - x) = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 1 \hfill \cr x = 5 \hfill \cr} \right.$$

$y = 2\sqrt 2  \Leftrightarrow x - 1 = 5 - x \Leftrightarrow x = 3$

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho bằng $2\sqrt 2 $$ khi x = 3, giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho bằng 2 khi x = 1 hoặc x = 5.