Bài 22 trang 218 SBT Toán Đại số 10: Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính...

Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính

a) $\cos {67^0}30’$ và ${\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}$

b) ${{\cos {{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}}$

c) $\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}$

d) $\cos {\pi  \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7}$

Gợi ý làm bài

a) $\cos {67^0}30′ = \cos {{{{135}^0}} \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos {{135}^0}} \over 2}}$

$= \sqrt {{{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}}  = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2}$

$\cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3  - 1)$

b) 

$\eqalign{ & \cos {30^0} = {1 \over {\tan {{2.15}^0}}} \cr & = {{1 - {{\tan }^2}{{15}^0}} \over {2\tan {{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{15}^0} - 1} \over {2\cot {{15}^0}}} \cr}$

Đặt $x = \cos {15^0}$ và chú ý rằng $\cos {30^0} = \sqrt 3$ ta có

$\sqrt 3  = {{{x^2} - 1} \over {2x}} \Leftrightarrow {x^2} - 2\sqrt 3  - 1 = 0$

Giải phương trình trên ta được $x = 2 + \sqrt 3$ (nghiệm $x = \sqrt 3  - 2$ loại vì $\cot {15^0} > 0$). Do đó

$\eqalign{ & {{{{\cot }^2}{{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}} = {{2 + \sqrt 3 + 1} \over {2(2 + \sqrt 3 )}} \cr & = {{3 + \sqrt 3 } \over {2(2 + \sqrt 3 )}} = {{3 - \sqrt 3 } \over 2} \cr}$

c) Ta có:

$\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} =  - \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}$

$=  - \tan ({60^0} - {40^0})\tan {40^0}\tan ({60^0} + {40^0})$

$=  - {{\tan {{60}^0} - \tan {{40}^0}} \over {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \over {1 - \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}$

$=  - {{3 - {{\tan }^2}{{40}^0}} \over {1 - 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} =  - \tan {120^0} = \sqrt 3$

d) Hướng dẫn: Nhân thêm $\sin {\pi  \over 7}$

Đáp số: ${1 \over 8}$