Advertisements (Quảng cáo)
Không dùng bảng số và máy tính, hãy tính
a) \(\cos {67^0}30’\) và \({\rm{cos7}}{{\rm{5}}^0}\)
b) \({{\cos {{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}}\)
c) \(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0}\)
d) \(\cos {\pi \over 7}\cos {{4\pi } \over 7}\cos {{5\pi } \over 7}\)
Gợi ý làm bài
a) \(\cos {67^0}30′ = \cos {{{{135}^0}} \over 2} = \sqrt {{{1 + \cos {{135}^0}} \over 2}} \)
\( = \sqrt {{{1 – {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2}} = {{\sqrt {2 – \sqrt 2 } } \over 2}\)
\(\cos {75^0} = \cos ({45^0} + {30^0}) = {{\sqrt 2 } \over 4}(\sqrt 3 – 1)\)
b)
\(\eqalign{
& \cos {30^0} = {1 \over {\tan {{2.15}^0}}} \cr
& = {{1 – {{\tan }^2}{{15}^0}} \over {2\tan {{15}^0}}} = {{{{\cot }^2}{{15}^0} – 1} \over {2\cot {{15}^0}}} \cr} \)
Đặt \(x = \cos {15^0}\) và chú ý rằng \(\cos {30^0} = \sqrt 3 \) ta có
\(\sqrt 3 = {{{x^2} – 1} \over {2x}} \Leftrightarrow {x^2} – 2\sqrt 3 – 1 = 0\)
Giải phương trình trên ta được \(x = 2 + \sqrt 3 \) (nghiệm \(x = \sqrt 3 – 2\) loại vì \(\cot {15^0} > 0\)). Do đó
\(\eqalign{
& {{{{\cot }^2}{{15}^0} + 1} \over {2\cot {{15}^0}}} = {{2 + \sqrt 3 + 1} \over {2(2 + \sqrt 3 )}} \cr
& = {{3 + \sqrt 3 } \over {2(2 + \sqrt 3 )}} = {{3 – \sqrt 3 } \over 2} \cr} \)
c) Ta có:
\(\tan {20^0}\tan {40^0}\tan {80^0} = – \tan {20^0}\tan {40^0}\tan {100^0}\)
\( = – \tan ({60^0} – {40^0})\tan {40^0}\tan ({60^0} + {40^0})\)
\( = – {{\tan {{60}^0} – \tan {{40}^0}} \over {1 + \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\tan {40^0}{{\tan {{60}^0} + \tan {{40}^0}} \over {1 – \tan {{60}^0}\tan {{40}^0}}}\)
\( = – {{3 – {{\tan }^2}{{40}^0}} \over {1 – 3{{\tan }^2}{{40}^0}}}\tan {40^0} = – \tan {120^0} = \sqrt 3 \)
d) Hướng dẫn: Nhân thêm \(\sin {\pi \over 7}\)
Đáp số: \({1 \over 8}\)