Bài 53 trang 123 Sách bài tập Toán Đại số 10: Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm...

Tìm các giá trị của tham số m để các phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt

a) ${x^2} - 2x + {m^2} + m + 3 = 0;$

b) $({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0.$

Gợi ý làm bài

Phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0$có hai nghiệm dương phân biệt, điều kiện cần và đủ là:

$\left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr {x_1}{x_2} > 0 \hfill \cr {x_1} + {x_2} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \Delta > 0 \hfill \cr ac > 0 \hfill \cr ab < 0 \hfill \cr} \right.$

a) ${x^2} - 2x + {m^2} + m + 3 = 0$ có $\Delta ‘ =  - {m^2} - m - 2 < 0,\forall m$. Do đó không có giá trị nào của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) $({m^2} + m + 3){x^2} + (4{m^2} + m + 2)x + m = 0$ có $a = {m^2} + m + 3 > 0,\forall m$ và có $b = 4{m^2} + m + 2 > 0,\forall m$, nên $ab > 0,\forall m$. Vì vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt.