Bài III.7 trang 52 SBT Lý 10 Người ta khoét một lỗ tròn bán kính R/2 trong một đĩa phẳng mỏng,...

Người ta khoét một lỗ tròn bán kính R/2 trong một đĩa phẳng mỏng, đồng chất, bán kính R (H.III.6). Tìm trọng tâm của phần còn lại.

Giả sử ta khoét thêm một lỗ tròn bán kính R/2 nữa đối xứng với lỗ tròn đã khoét lúc đầu (H.III.6G)

Gọi $\overrightarrow {{P}}$ là trọng lượng của đĩa bán kính R khi chưa bị khoét, $\overrightarrow {{P_1}}$ là trọng lượng của đĩa nhỏ có bán kính R/2 và $\overrightarrow {{P_2}}$ là trọng lượng của phần đĩa còn lại sau hai lần khoét, ta có:

${{{P_1}} \over P} = {{{S_1}} \over S} = {{{{\pi {R^2}} \over 4}} \over {\pi {R^2}}} = {1 \over 4}$ ;     ${{{P_2}} \over P} = {{S - 2{S_1}} \over S} = {{S - {S \over 2}} \over S} = {1 \over 2}$

=>  ${{{P_1}} \over {{P_2}}} = {1 \over 2}$

Do tính chất đối xứng, trọng tâm phần đĩa còn lại sau hai lần khoét thì trùng với tâm O của đĩa khi chưa khoét, còn trọng tâm của đĩa nhỏ mà ta giả sử khoét thêm thì ở tâm O₁ của nó. Gọi G là trọng tâm của đĩa sau khi bị khoét một lỗ tròn. Ta có hệ phương trình

$\left\{ \matrix{ {{GO} \over {G{O_1}}} = {{{P_1}} \over {{P_2}}} = {1 \over 2} \hfill \cr GO + G{O_1} = {R \over 2} \hfill \cr} \right.$

Giải ra ta được: $G{O_1} = {R \over 3}$  và  $GO = {R \over 6}$