Bài 6 trang 58 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ({d_1}) và ({d_2}) trong các trường hợp s...

Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ trong các trường hợp sau:

a) ${d_1}:x - 2y + 3 = 0$ và ${d_2}:3x - y - 11 = 0$

b)  ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.$ và ${d_2}:x + 5y - 5 = 0$

c) ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 7 + 4t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - 9 + 2t\end{array} \right.$

Bước 1: Xác định 2 vectơ pháp tuyến (hoặc chỉ phương) của hai đường thẳng đã cho: $(a_1;b_1), (a_2;b_2)$

Bước 2: Tính cos góc giữa hai đường thẳng bằng công thức $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {{a_1}^2 + {b_1}^2} \sqrt {{a_2}^2 + {b_2}^2} }}$ => suy ra góc giữa 2 đt.

a) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${d_1}$và ${d_2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1; - 2} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 1} \right)$

Ta có $\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.3 + \left( { - 2} \right).( - 1)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ$

b) Ta có vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {5; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {1;5} \right)$

Ta có ${a_1}{a_2} + {b_1}{b_2} = 5.1 + ( - 1).5 = 0$

Suy ra $\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ$

c) Ta có vectơ chỉ phương của hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {2; 4} \right),\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {1;2} \right)$

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.1+4.2} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{ { 4} }^2}} \sqrt {{1^2} + {{{ 2}}^2}} }} = 1 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 0^\circ$