Bài 7 trang 58 Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Delta ) trong các trường hợp...

Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng $\Delta$ trong các trường hợp sau:

a) $M(1;2)$ và $\Delta :3x - 4y + 12 = 0$

b)  $M(4;4)$ và $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - t\end{array} \right.$

c) $M(0;5)$ và $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \frac{{ - 19}}{4}\end{array} \right.$

d) $M(0;0)$ và $\Delta :3x + 4y - 25 = 0$

Bước 1: Xác định phương trình tổng quát của $\Delta: a{x_0} + b{y_0} + c=0$

Bước 2: khoảng cách từ $A(x_0;y_0)$ đến d là: $d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

a) Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến $\Delta :3x - 4y + 12 = 0$ là:

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.1 - 4.2 + 12} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{7}{5}$

b) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y =  - t\end{array} \right.$ nên có phương trình tổng quát là

$\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y = 0$

Suy ra khoảng cách từ điểm $M(4;4)$ đến đường thẳng $\Delta$ là

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1.4 + 1.4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 2\sqrt 2$

c) $\Delta$ có phương trình tham số $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = \frac{{ - 19}}{4}\end{array} \right.$ nên có phương trình tổng quát là

$0.\left( {x - 0} \right) + \left( {y + \frac{{19}}{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow y + \frac{{19}}{4} = 0$

Suy ra khoảng cách từ điểm $M(0;5)$ đến đường thẳng $\Delta$ là

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 + \frac{{19}}{4}} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{39}}{4}$

d) Khoảng cách từ $M(0;0)$ đến $\Delta :3x + 4y - 25 = 0$ là:

$d\left( {M,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3.0 + 4.0 - 25} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 5$