Bài 6 trang 73 Toán 10 tập 1 – Chân trời sáng tạo: Cho tam giác ABC có (AB = 6,AC = 8) và (widehat A = {60^o}.)...

Cho tam giác ABC có $AB = 6,AC = 8$ và $\widehat A = {60^o}.$

a) Tính diện tích tam giác ABC.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính diện tích tam giác IBC.

a) Tính diện tích bằng công thức: $S = \frac{1}{2}bc\sin A$

b) Tìm a, từ đó suy ra R bằng định lí sin => Tính diện tích tam giác IBC

Đặt $a = BC,b = AC,c = AB.$

a) Áp dụng công thức $S = \frac{1}{2}bc\sin A$, ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.8.6.\sin {60^o} = \frac{1}{2}.8.6.\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 12\sqrt 3$

b) Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta được:

$\begin{array}{l}B{C^2} = {a^2} = {8^2} + {6^2} - 2.8.6.\cos {60^o} = 52\\ \Rightarrow BC = 2\sqrt {13} \end{array}$

Xét tam giác IBC ta có:

Góc $\widehat {BIC} = 2.\widehat {BAC} = {120^o}$(góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn một cung)

$IB = IC = R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{2\sqrt {13} }}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{2\sqrt {39} }}{3}.$

$\Rightarrow {S_{IBC}} = \frac{1}{2}.\frac{{2\sqrt {39} }}{3}.\frac{{2\sqrt {39} }}{3}\sin {120^o} = \frac{{13\sqrt 3 }}{3}.$