Bài 10 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m...

a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn các hệ thức :

x₁ + x₂ + x₁x₂=0;

m(x₁ + x₂ ) - x₁x₂ = 3m + 4

b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.

Đáp án

a) Đặt S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂

Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)

$\left\{ \matrix{ S + P = 0 \hfill \cr mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ S + P = 0 \hfill \cr S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.$ 

+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm $(S, P)  = ({{3m + 4} \over {m + 1}};\,{{ - 3m + 4} \over {m + 1}})\,\,\,\,(2)$

Vậy phương trình cần tìm là:

$\eqalign{ & {x^2} - Sx + P = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr}$ 

Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:

$\eqalign{ & \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \cr&= (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m \le - {4 \over 3} \hfill \cr m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr}$

Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).

b) Ta có:

$S = - P = {{3m + 4} \over {m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < - {4 \over 3} \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right.$ 

Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra:

+ Nếu

$\left[ \matrix{ m < - {4 \over 3} \hfill \cr m > - 1 \hfill \cr} \right.$

 thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu $m =  - {4 \over 3}$ thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0

+ Nếu $- {8 \over 7} \le m < 1$ thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.

+Nếu $- {4 \over 3} < m <  - {8 \over 7}$ thì phương trình (3) vô nghiệm.