Bài 10 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m...

a) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x₁ và x₂ thỏa mãn các hệ thức :

x₁ + x₂ + x₁x₂=0;

m(x₁ + x₂ ) - x₁x₂ = 3m + 4

b) Xét dấu các nghiệm phương trình đó tùy theo m.

Đáp án

a) Đặt S = x₁ + x₂ và P = x₁x₂

Các điều kiện của bài toán được thể hiện qua hệ phương trình (ẩn S và P)

\(\left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
mS - P = 3m + 4 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
S + P = 0 \hfill \cr
S(m + 1) = 3m + 4\,\,\,(1) \hfill \cr} \right.\) 

+ Khi m = -1 thì (1) vô nghiệm, nghĩa là không có nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của bài toán.

+ Khi m ≠ -1, hệ (1) có một nghiệm \((S, P)  = ({{3m + 4} \over {m + 1}};\,{{ - 3m + 4} \over {m + 1}})\,\,\,\,(2)\)

Vậy phương trình cần tìm là:

\(\eqalign{
& {x^2} - Sx + P = 0 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - {{3m + 4} \over {m + 1}}x - {{3m + 4} \over {m + 1}} = 0 \cr
& \Leftrightarrow (m + 1){x^2} - (3m + 4)x - (3m + 4) = 0\,\,\,\,\,\,\,(3) \cr} \) 

Điều kiện để phương trình (3) có nghiệm là:

\(\eqalign{
& \Delta = {(3m + 4)^2} + 4(m + 1)(3m + 4) \cr&= (3m + 4)(7m + 8) \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m \le - {4 \over 3} \hfill \cr
m \ge - {8 \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4) \cr} \)

Tóm lại, phương trình cần tìm là phương trình (3) với điều kiện của m là m ≠ -1 và thỏa mãn (4).

b) Ta có:

\(S = - P = {{3m + 4} \over {m + 1}} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\) 

Kết hợp với điều kiện (4) , ta suy ra:

+ Nếu

\(\left[ \matrix{
m < - {4 \over 3} \hfill \cr
m > - 1 \hfill \cr} \right.\)

 thì P < 0 nên (3) có hai nghiệm trái dấu

+ Nếu \(m =  - {4 \over 3}\) thì phương trình (3) có một nghiệm kép x = 0

+ Nếu \( - {8 \over 7} \le m < 1\) thì P > 0; S < 0 nên phương trình (3) có hai nghiệm âm.

+Nếu \( - {4 \over 3} < m <  - {8 \over 7}\) thì phương trình (3) vô nghiệm.