Bài 12 trang 222 Đại số 10 Nâng cao: Giải các hệ phương trình...

Giải các hệ phương trình

a) 

$\left\{ \matrix{ {x^2} - 5xy + {y^2} = 7 \hfill \cr 2x + y = 1 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} + x + y = 8 \hfill \cr x + y + xy = 5 \hfill \cr} \right.$

c)

$\left\{ \matrix{ {x^2} + {y^2} - x + y = 2 \hfill \cr xy + x - y = - 1 \hfill \cr} \right.$

Đáp án

a) Từ phương trình thứ hai của hệ, ta được $y = 1- 2x$

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

$\eqalign{ & {x^2} - 5x(1 - 2x) + {(1 - 2x)^2} = 7 \cr & \Leftrightarrow 15{x^2} - 9x - 6 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 1 \hfill \cr x = - {2 \over 5} \hfill \cr} \right. \cr}$

+ Với $x = 1$ thì $y = 1 – 2.1 = -1$

+ Với $x =  - {2 \over 5} \Rightarrow y = 1 - 2.( - {2 \over 5}) = {9 \over 5}$

Vậy hệ có hai nghiệm: $(-1, 1)$ và $( - {2 \over 5};\,{9 \over 5})$

b) Đặt $S = x + y; P = xy$. Ta có:

 $\left\{ \matrix{ {S^2} - 2P + S = 8 \hfill \cr  S + P = 5 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 5 - S \hfill \cr  {S^2} + 3S - 18 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = 3 \hfill \cr  P = 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr  \left\{ \matrix{ S = - 6 \hfill \cr  P = 11 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

+ Với S = 3, P = 2, hệ có nghiệm (2, 1) và (1, 2)

+ Với S = -6, P = 11 vô nghiệm do S² – 4P < 0

c) Đặt $S = x - y; P = xy$. Ta có:

$\left\{ \matrix{ {S^2} + 2P - S = 2 \hfill \cr P + S = - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ P = 1 - S \hfill \cr {S^2} - 3S - 4 = 0 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \left\{ \matrix{ S = - 1 \hfill \cr P = 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left\{ \matrix{ S = 4 \hfill \cr P = - 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.$

+ Với $S = -1, P = 0$ thì $x, -y$ là nghiệm phương trình:

${X^2} + X = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ X = 0 \hfill \cr X = - 1 \hfill \cr} \right.$

Ta có nghiệm (0, 1) và (-1, 0)

+ Với $S = 4, P = -5: x; -y$ là nghiệm phương trình:

X² – 4X + 5 = 0 (vô nghiệm)