Advertisements (Quảng cáo)
Cho tam giác ABC.
a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu \({a^2} = {{{b^3} + {c^3} – {a^3}} \over {b + c – a}}\)?
b) Biết \({2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\) , chứng minh rằng \(2\sin A = \sin B + \sin C\) .
Giải
a) Ta có
\(\eqalign{
& {a^2} = {{{b^3} + {c^3} – {a^3}} \over {b + c – a}}\cr& \Leftrightarrow \,\,{a^2}b + {a^2}c – {a^3} = {b^3} + {c^3} – {a^3} \cr
& \Leftrightarrow \,\,{a^2}\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} – bc + {c^2}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {b^2} + {c^2} – bc \cr} \)
Áp dụng định lí cosin ta có \({a^2} = {b^2} + {c^2} – 2bc\cos A\) .
Do đó \(\cos A = {1 \over 2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\widehat A = {60^0}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Vậy tam giác ABC có góc A bằng \({60^0}\) .
b) Ta có \(S = {1 \over 2}a{h_a}\,\, \Rightarrow \,\,{h_a} = {{2S} \over a}\,\,\,\,;\,\,\,S = {1 \over 2}b{h_b}\)
\(\Rightarrow \,\,{h_b} = {{2S} \over b}\,\,;\,\,{h_c} = {{2S} \over c}\) .
Do đó
\(\eqalign{
& {2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2a = b + c \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2.2R\sin A = 2R\sin B + 2R\sin C \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2\sin A = \sin B + \sin C \cr} \)