Bài 4 trang 127 Hình học 10 Nâng cao: Chứng minh rằng...

Cho tam giác ABC.

a) Tam giác ABC có tính chất gì nếu ${a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}$?

b) Biết ${2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}$ , chứng minh rằng $2\sin A = \sin B + \sin C$ .

Giải

a) Ta có

$\eqalign{ & {a^2} = {{{b^3} + {c^3} - {a^3}} \over {b + c - a}}\cr& \Leftrightarrow \,\,{a^2}b + {a^2}c - {a^3} = {b^3} + {c^3} - {a^3} \cr &  \Leftrightarrow \,\,{a^2}\left( {b + c} \right) = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) \cr &  \Leftrightarrow \,\,{a^2} = {b^2} + {c^2} - bc \cr}$           

Áp dụng định lí cosin ta có ${a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A$   .

Do đó $\cos A = {1 \over 2}\,\, \Leftrightarrow \,\,\widehat A = {60^0}$.

Vậy tam giác ABC có góc  A bằng ${60^0}$ .

b) Ta có $S = {1 \over 2}a{h_a}\,\, \Rightarrow \,\,{h_a} = {{2S} \over a}\,\,\,\,;\,\,\,S = {1 \over 2}b{h_b}$

$\Rightarrow \,\,{h_b} = {{2S} \over b}\,\,;\,\,{h_c} = {{2S} \over c}$ .

Do đó

$\eqalign{ & {2 \over {{h_a}}} = {1 \over {{h_b}}} + {1 \over {{h_c}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2a = b + c \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2.2R\sin A = 2R\sin B + 2R\sin C \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,2\sin A = \sin B + \sin C \cr}$