Advertisements (Quảng cáo)
Cho hypebol (H) có phương trình \({{{x^2}} \over {16}} – {{{y^2}} \over 4} = 1\)
a) Viết phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H).
b) Tính diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H).
c) Chứng minh rằng các điểm \(M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )\) đều thuộc (H).
d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H).
e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.
Giải
a) Ta có a = 4, b = 2.
Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là
\(y = \pm {b \over a}x = \pm {1 \over 2}x\)
b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là \(S = 4ab = 4.4.2 = 32\)
c) Ta có \({{{5^2}} \over {16}} – {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1\) và \({{{8^2}} \over {16}} – {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1\) nên M và N đều thuộc (H).
Advertisements (Quảng cáo)
d) Phương trình đường thẳng của MN
\(\Delta \,\,\,{{x – 5} \over {8 – 5}} = {{y – {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3 – {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x – 5} \over 3} = {{2y – 3} \over {4\sqrt 3 – 3}}\)
Giao điểm P của Δ với tiệm cận \(y = {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
\,{{x – 5} \over 3} = {{2y – 3} \over {4\sqrt 3 – 3}} \hfill \cr
y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)
\(\Rightarrow \,\,P\,\left( {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right)\) .
Giao điểm Q của Δ với tiệm cận \(y = – {1 \over 2}x\) là nghiệm của hệ
\(\left\{ \matrix{
\,{{x – 5} \over 3} = {{2y – 3} \over {4\sqrt 3 – 3}} \hfill \cr
y = – {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = 5 – 2\sqrt 3 \hfill \cr
y = – {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \)
\(\Rightarrow Q\left( {5 – 2\sqrt 3 \,;\, – {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)\)
Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có \({x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}\) . Do \(I\,\,J\,\, \in \,\,\Delta \) nên \(I \equiv J\) .
Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.