Bài 8 trang 128 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của hypebol (H)...

Cho hypebol (H) có phương trình ${{{x^2}} \over {16}} - {{{y^2}} \over 4} = 1$

a)  Viết phương trình các đường tiệm cận của  hypebol (H).

b) Tính diện tích hình chữ  nhật cơ sở của hypebol (H).

c) Chứng minh rằng các điểm $M\left( {5\,;\,{3 \over 2}} \right)\,\,N(8\,;\,2\sqrt 3 )$ đều thuộc  (H).

d) Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M, N và tìm các giao điểm P, Q của Δ với hai đường tiệm cận của  hypebol (H).

e) Chứng minh rằng các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.

Giải

a)  Ta có a = 4, b = 2.

Phương trình các đường tiệm cận của hypebol (H) là

$y =  \pm {b \over a}x =  \pm {1 \over 2}x$                                      

b) Diện tích hình chữ nhật cơ sở của hypebol (H) là $S = 4ab = 4.4.2 = 32$

c) Ta có ${{{5^2}} \over {16}} - {{{{\left( {{3 \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = 1$ và ${{{8^2}} \over {16}} - {{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}} \over 4} = 1$ nên M và N đều thuộc (H).

d) Phương trình đường thẳng của MN

$\Delta \,\,\,{{x - 5} \over {8 - 5}} = {{y - {3 \over 2}} \over {2\sqrt 3  - {3 \over 2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3  - 3}}$                 

Giao điểm P của Δ với  tiệm cận $y = {1 \over 2}x$ là nghiệm của hệ

$\left\{ \matrix{ \,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr y = {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ x = 8 + 2\sqrt 3 \hfill \cr y = 4 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.$

$\Rightarrow \,\,P\,\left( {8 + 2\sqrt 3 \,;\,\,4 + \sqrt 3 } \right)$                .

Giao điểm Q của Δ với  tiệm cận $y =  - {1 \over 2}x$  là nghiệm của hệ

$\left\{ \matrix{ \,{{x - 5} \over 3} = {{2y - 3} \over {4\sqrt 3 - 3}} \hfill \cr y = - {1 \over 2}x \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{ x = 5 - 2\sqrt 3 \hfill \cr y = - {5 \over 2} + \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,$

$\Rightarrow Q\left( {5 - 2\sqrt 3 \,;\, - {5 \over 2} + \sqrt 3 } \right)$               

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của MN, PQ . Ta có ${x_I} = {x_J} = {{13} \over 2}$ . Do $I\,\,J\,\, \in \,\,\Delta$ nên $I \equiv J$ .

Vậy các trung điểm của hai đoạn thẳng PQ và MN trùng nhau.