Trong mặt phẳng tọa độ, với mỗi số \(m \ne 0\) , xét hai điểm \({M_1}( - 4\,;\,m);\,{M_2}(4\,;\,{{16} \over m})\)
a) Viết phương trình đường thẳng M1M2.
b) Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O tới đường thẳng M1M2.
c) Chứng tỏ rằng đường thẳng M1M2 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
d) Lấy các điểm \({A_1}( - 4\,;\,0),\,{A_2}(4\,;\,0)\) . Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường thẳng \({A_1}{M_2},\,{A_2}{M_1}\) .
e) Chứng minh rằng khi m thay đổi, I luôn luôn nằm trên một elip (E) cố định. Xác định tọa độ tiêu điểm của elip đó.
Giải
a) Ta có \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = \left( {8\,;\,{{16} \over m} - m} \right) = \left( {8\,;\,{{16 - {m^2}} \over m}} \right)\)
Phương trình đường thẳng \({M_1}{M_2}\,\,\,\,{{x + 4} \over 8} = {{y - m} \over {{{16 - {m^2}} \over m}}}\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).\left( {x + 4} \right) = 8m\left( {y - m} \right) \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left( {16 - {m^2}} \right).x - 8my + 64 + 4{m^2} = 0 \cr} \)
b) Khoảng cách từ O đến đường thẳng M1M2 là
\(d(O\,\,{M_1}{M_2}) = {{64 + 4{m^2}} \over {\sqrt {{{\left( {16 - {m^2}} \right)}^2} + 64{m^2}} }} = {{4\left( {{m^2} + 16} \right)} \over {\sqrt {{{\left( {{m^2} + 16} \right)}^2}} }} = 4\)
c) Gọi (C) là đường tròn tâm O bán kính R = 4 thì M1M2 tiếp xúc với đường tròn cố định (C).
Advertisements (Quảng cáo)
d) Phương trình đường thẳng A1M2 là
\({{x + 4} \over 8} = {{y - 0} \over {{{16} \over m}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,2x - my + 8 = 0\)
Phương trình đường thẳng A2M1 là
\({{x - 4} \over { - 8}} = {{y - 0} \over m}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,mx + 8y - 4m = 0\)
Tọa độ giao điểm I của A1M2 và A2M1 là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \matrix{
2x - my + 8 = 0 \hfill \cr
mx + 8y - 4m = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr
y = {{16m} \over {{m^2} + 16}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I\left( {{{4({m^2} - 16)} \over {{m^2} + 16}}\,;\,{{16m} \over {{m^2} + 16}}} \right)\) .
e) Khử m từ hệ (*) ta có
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
my = 2x + 8 \hfill \cr
m(4 - x) = 8y \hfill \cr} \right.\,\,\, \Rightarrow \,\,\,(2x + 8).(4 - x) = 8{y^2} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,2(16 - {x^2}) = 8{y^2}\,\, \cr
& \cr& \Rightarrow {x^2} + 4{y^2} = 16\cr&\Rightarrow \,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1 \cr} \)
Vậy I nằm trên elip (E) có phương trình \(\,\,{{{x^2}} \over {16}} + {{{y^2}} \over 4} = 1\) .
Ta có \({c^2} = {a^2} - {b^2} = 16 - 4 = 12\,\,\,\, \Rightarrow \,\,c = 2\sqrt 3 \)
Hai tiêu điểm của elip là \({F_1}( - 2\sqrt 3 \,;\,0)\,\,\,\,{F_2}(2\sqrt 3 \,;\,0)\)