Bài 9 trang 128 Hình học 10 Nâng cao: Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P)...

Cho parabol (P) có phương trình y² = 4x.

a) Xác định tọa độ tiêu điểm F  và phương trình đường chuẩn d của (P).

b) Đường thẳng Δ có phương trình $y = m\,\,\,(m \ne 0)$ lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.

c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng  IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.

d) Chứng minh rằng $MI \bot KF$ . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.

a)  Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).

Phương trình đường chuẩn  d: x + 1 = 0.

b) Ta có $K( - 1;\,m)\,\,\,H(0\,;\,m)\,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)$ .

c) I là trung điểm OH nên $I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)$

Phương trình đường thẳng IM

${{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)$

$\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0$

Tọa độ giao điểm của IM với (P)  là nghiệm của hệ

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr 4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr {y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ {y^2} = 4x \hfill \cr {(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{ x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr y = m \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất $M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)$

d) Ta có $\overrightarrow {MI}  = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,\,\,\,\overrightarrow {KF}  = (2\,;\, - m)$ .

Suy ra  $\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF}  =  - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF$

Tam giác $KMF$ cân tại M  (do MF = MK).

MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.