Cho parabol (P) có phương trình y2 = 4x.
a) Xác định tọa độ tiêu điểm F và phương trình đường chuẩn d của (P).
b) Đường thẳng Δ có phương trình \(y = m\,\,\,(m \ne 0)\) lần lượt cắt d, Oy, (P) tại các điểm K, H, M. Tìm tọa độ của các điểm đó.
c) Gọi I là trung điểm của OH. Viết phương trình đường thẳng IM và chứng tỏ rằng đường thẳng IM cắt (P) tại một điểm duy nhất.
d) Chứng minh rằng \(MI \bot KF\) . Từ đó suy ra IM là phân giác của góc KMF.
a) Ta có p = 2. Tọa độ tiêu điểm của (P) là F(1, 0).
Phương trình đường chuẩn d: x + 1 = 0.
b) Ta có \(K( - 1;\,m)\,\,\,H(0\,;\,m)\,\,M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\) .
c) I là trung điểm OH nên \(I\left( {0\,;\,{m \over 2}} \right)\)
Advertisements (Quảng cáo)
Phương trình đường thẳng IM
\({{x - 0} \over {{{{m^2}} \over 4} - 0}} = {{y - {m \over 2}} \over {m - {m \over 2}}}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,x = {m \over 2}\left( {y - {m \over 2}} \right)\)
\(\Leftrightarrow \,\,\,4x - 2my + {m^2} = 0\)
Tọa độ giao điểm của IM với (P) là nghiệm của hệ
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
4x - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{y^2} - 2my + {m^2} = 0 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{
{y^2} = 4x \hfill \cr
{(y - m)^2} = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{
x = {{{m^2}} \over 4} \hfill \cr
y = m \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy IM cắt (P) tại một điểm duy nhất \(M\left( {{{{m^2}} \over 4}\,;\,m} \right)\)
d) Ta có \(\overrightarrow {MI} = \left( { - {{{m^2}} \over 4}\,;\, - {m \over 2}} \right)\,\,\,\,\,\overrightarrow {KF} = (2\,;\, - m)\) .
Suy ra \(\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {KF} = - {{{m^2}} \over 2} + {{{m^2}} \over 2} = 0\,\,\,\, \Rightarrow \,\,MI \bot KF\)
Tam giác \(KMF\) cân tại M (do MF = MK).
MI là đường cao nên là phân giác góc KMF.