Bài 6 trang 127 Hình học 10 Nâng cao: Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3, 4); B( 6, 0)

a) Nhận xét gì về tam giác OAB ? Tính diện tích của tam giác đó.

b) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

c) Viết phương trình đường phân giác trong tại đỉnh O của tam giác OAB.

d) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.

Giải

a) Ta có$OA = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,\,\,;\,\,\,OB = \sqrt {{6^2} + 0}  = 6\,\,;$

$AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\,$

Tam giác OAB cân tại A. Gọi I là trung điểm của OB ta có I(3, 0) và $AI = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(0 - 4)}^2}}  = 4$ .

Diện tích tam giác OAB bằng $S = {1 \over 2}.AI.OB = {1 \over 2}.4.6 = 12$ .

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB có dạng

$(C):\,{x^2} + {y^2} + 2ax + 2by + c = 0$                     

Vì $O\,\,A\,\,B\,\, \in \,\,(O)$ nên 

$\left\{ \matrix{ c = 0 \hfill \cr 9 + 16 + 6a + 8b + c = 0 \hfill \cr 36\,\,\,\,\,\,\,\, + 12a\,\,\,\,\,\,\,\,\, + c = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\left\{ \matrix{ a = - 3 \hfill \cr b = - {7 \over 8} \hfill \cr c = 0 \hfill \cr} \right.$

Vậy  $(C)\,\,{x^2} + {y^2} - 6x - {7 \over 4}y = 0$  .

c) Phương trình đường thẳng $OA\,\,\,\,{x \over 3} = {y \over 4}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,4x - 3y = 0$

Phương trình đường thẳng $OB\,\,\,\,y = 0$

Phương trình các đường phân giác tại đỉnh O của tam  giác OAB là:

$\eqalign{ & {{4x - 3y} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2}} }} = \pm {y \over 1}\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ 4x - 3y = 5y\,\,\,\,\,\,\,({d_1}) \hfill \cr 4x - 3y = - 5y\,\,\,\,({d_2}) \hfill \cr} \right. \cr &  \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ 4x - 8y = 0 \hfill \cr 4x + 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\left[ \matrix{ x - 2y = 0 \hfill \cr 2x + y = 0 \hfill \cr} \right. \cr}$ 

Với ${d_1}:x - 2y = 0\,\,$ ta có $({x_A} - 2{y_A})({x_B} - 2{y_B}) =  - 5.6 =  - 30 < 0$ . Vậy A và B khác phía đối với d₁ , do đó d₁ là đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

d) Vì tam giác OAB cân tại A nên AI là phân giác trong góc A của tam giác OAB  , ta có $\overrightarrow {AI}  = (0\,;\, - 4)$ nên x = 3 là phương trình đường thẳng AI.

Tọa độ tâm J của đường tròn nội tiếp tam giác OAB là nghiệm hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr x - 2y = 0 \hfill \cr} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \matrix{ x = 3 \hfill \cr y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.$

Vậy $J\left( {3\,;\,{3 \over 2}} \right)$ .

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB   là

$r = d(J,\,AO) = {{\left| {4.3 - 3.{3 \over 2}} \right|} \over {\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = {3 \over 2}$               

Vậy phương trình đường tròn nội tiếp của tam giác OAB là ${(x - 3)^2} + {\left( {y - {3 \over 2}} \right)^2} = {9 \over 4}$