Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:

a) $\sqrt {{x^2} - 4x - 12}  \le x - 4$

b) $(x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4$

c) $\sqrt {{x^2} - 8x}  \ge 2(x + 1)$

d) $\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 - {x^2} - 3x$

Đáp án

a) Ta có:

$\eqalign{ & \sqrt {{x^2} - 4x - 12} \le x - 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr x - 4 \le 0 \hfill \cr {x^2} - 4x - 12 \le {(x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge 4 \hfill \cr 4x \le 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7 \cr}$

Vậy $S = [6, 7]$

b) Ta có:

$(x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4$

$\Leftrightarrow (x - 2)(\sqrt {{x^2} + 4}  - x - 2) \le 0$

 + Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình

+ Với x > 2, ta có:

$(x - 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} - 4$

$\Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {(x + 2)^2} \Leftrightarrow x \ge 0$

Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.

+ Với x < 2, ta có:

$\eqalign{ & (x - 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} - 4 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 2 > 0 \hfill \cr \left\{ \matrix{ x + 2 \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 4 \ge {(x + 2)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x < - 2 \hfill \cr \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 0 \cr}$

Vậy $S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞)$

c) Bất phương trình đã cho tương đương với:

$(I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} - 8x \ge 0 \hfill \cr x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.$

hoặc

$(II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x + 1 \ge 0 \hfill \cr {x^2} - 8x \ge 4{(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.$ 

Ta có:

$\eqalign{ & (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le 0 \hfill \cr x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x < - 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 1 \cr & (II)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr 3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 1 \hfill \cr {{ - 8 - 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 1 \le x \le {{ - 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr}$

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

$S = ( - \infty , - 1) \cup {\rm{[}} - 1,\,{{2\sqrt {13}  - 8} \over 3}{\rm{]}} = ( - \infty ,{{2\sqrt {13}  - 8} \over 3}{\rm{]}}$ 

d) Đặt $t = \sqrt {x(x + 3)} \,\,\,(t \ge 0)$

⇒ x² + 3x = t² ⇔ t² + t - 6 ≤ 0 ⇔  -3 ≤ t ≤ 2

Kết hợp với điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x² + 3x ≤ 4

$\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr {x^2} + 3x - 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ x \le - 3 \hfill \cr x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 4 \le x \le -3 \hfill \cr 0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.$

Vậy $S  = [-4, -3] ∪ [0, 1]$