Trang chủ Lớp 10 Toán lớp 10 Nâng cao Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các...

Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:. Bài 85 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao – Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 4

Advertisements (Quảng cáo)

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\sqrt {{x^2} – 4x – 12}  \le x – 4\)

b) \((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4\)

c) \(\sqrt {{x^2} – 8x}  \ge 2(x + 1)\)

d) \(\sqrt {x(x + 3)}  \le 6 – {x^2} – 3x\)

Đáp án

a) Ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} – 4x – 12} \le x – 4 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 4x – 12 \ge 0 \hfill \cr
x – 4 \le 0 \hfill \cr
{x^2} – 4x – 12 \le {(x – 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 2 \hfill \cr
x \ge 6 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x \ge 4 \hfill \cr
4x \le 28 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 6 \le x \le 7 \cr} \)

Vậy \(S = [6, 7]\)

b) Ta có:

\((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4\)

\(\Leftrightarrow (x – 2)(\sqrt {{x^2} + 4}  – x – 2) \le 0\)

 + Với x = 2 là nghiệm của bất phương trình

+ Với x > 2, ta có:

\((x – 2)\sqrt {{x^2} + 4}  \le {x^2} – 4 \)

\(\Leftrightarrow {x^2} + 4 \le {(x + 2)^2} \Leftrightarrow x \ge 0\)

Kết hợp với điều kiện, ta có: x > 2.

+ Với x < 2, ta có:

Advertisements (Quảng cáo)

\(\eqalign{
& (x – 2)\sqrt {{x^2} + 4} \le {x^2} – 4 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x + 2 > 0 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x + 2 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 4 \ge {(x + 2)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x < – 2 \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge – 2 \hfill \cr
x \le 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 0 \cr} \)

Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [2, +∞)\)

c) Bất phương trình đã cho tương đương với:

\((I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} – 8x \ge 0 \hfill \cr
x + 1 < 0 \hfill \cr} \right.\)

hoặc

\((II) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} – 8x \ge 4{(x + 1)^2} \hfill \cr} \right.\) 

Ta có:

\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr
x \ge 8 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
x < – 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < – 1 \cr
& (II)\, \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
3{x^2} + 16x + 4 \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ge – 1 \hfill \cr
{{ – 8 – 2\sqrt {13} } \over 3} \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow – 1 \le x \le {{ – 8 + 2\sqrt {13} } \over 3} \cr} \)

Tập nghiệm của bất phương trình đã cho là:

\(S = ( – \infty , – 1) \cup {\rm{[}} – 1,\,{{2\sqrt {13}  – 8} \over 3}{\rm{]}} = ( – \infty ,{{2\sqrt {13}  – 8} \over 3}{\rm{]}}\) 

d) Đặt \(t = \sqrt {x(x + 3)} \,\,\,(t \ge 0)\)

⇒ x2 + 3x = t2 ⇔ t2 + t – 6 ≤ 0 ⇔  -3 ≤ t ≤ 2

Kết hợp với điều kiện: 0 ≤ t ≤ 2  ⇔  0 ≤ x2 + 3x ≤ 4

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 3x \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 3x – 4 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\left[ \matrix{
x \le – 3 \hfill \cr
x \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
– 4 \le x \le 1 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
– 4 \le x \le -3 \hfill \cr
0 \le x \le 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S  = [-4, -3] ∪ [0, 1]\)