Bài 86 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm...

 Với giá trị nào của a, các hệ phương trình sau có nghiệm

a) 

$\left\{ \matrix{ {x^2} - 5x + 6 < 0 \hfill \cr ax + 4 < 0 \hfill \cr} \right.$

b)

$\left\{ \matrix{ 4x + 1 < 7x - 2 \hfill \cr {x^2} - 2ax + 1 \le 0 \hfill \cr} \right.$

Đáp án

a) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là 2 < x < 3

Bất phương trình thứ hai của hệ tương đương với bất phương trình: ax < -4

+ Nếu a = 0 thì bất phương trình này vô nghiệm. Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Nếu a > 0 thì nghiệm của phương trình là $x <  - {4 \over a}$

Vì $- {4 \over a} < 0$ nên hệ vô nghiệm.

+ Nếu a < 0 thì nghiệm của bất phương trình này là $x >  - {4 \over a}$

Hệ có nghiệm khi và chỉ khi: 

$\left\{ \matrix{ a < 0 \hfill \cr - {4 \over a} < 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a < - {4 \over 3}$

Vậy hệ có nghiệm khi và chỉ khi: $a <  - {4 \over a}$

b) Bất phương trình đầu của hệ có nghiệm là x > 1

Xét bất phương trình thứ hai của hệ:

Ta có: Δ’= a² – 1

Nếu Δ’= 0 ⇔ a = ± 1

+ Với a = 1, nghiệm của bất phương trình là x = 1

Do đó, hệ vô nghiệm.

+ Với a = -1, nghiệm của bất phương trình là x = -1

Nếu Δ’ < 0 hay -1 < a < 1 thì bất phương trình này vô nghiêm.

Do đó, hệ vô nghiệm.

Nếu Δ’ > 0 hay a < -1 hoặc a > 1 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Nghiệm của bất phương trình này là: x₁ ≤ 1  ≤ x₂  (giả sử x₁ < x₂)

Theo định lý Vi-ét, ta có: x₁x₂ = 1 và x₁ + x₂ = 2a

+ Nếu a < -1 thì cả hai nghiệm x₁ và  x₂ đều âm. Do đó, hệ đã cho vô nghiệm.

+ Nếu a > 1 thì hai nghiệm x₁ và x₂ đều dương. Ngoài ra vì x₁x₂ = 1 và x₁ ≠ x₂ nên x₁ < 1 < x₂.

Do đó, hệ có nghiệm.