Bài 83 trang 156 SGK Đại số 10 nâng cao, Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:...

Tìm các giá trị của m sao cho R là tập nghiệm của mỗi bất phương trình:

a) (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0

b) (m² - 1)x² + 2(m + 1)x + 3 > 0

Đáp án

a)

+ Với m = 4, bất phương trình thành: 2x – 1 ≤  0, không thỏa mãn điều kiện với mọi x

+ Với m ≠ 4. (m - 4)x² - (m - 6)x + m – 5 ≤ 0, ∀x

$\eqalign{ & \left\{ \matrix{ m - 4 < 0 \hfill \cr \Delta = {(m - 6)^2} - 4(m - 4)(m - 5) \le 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m < 4 \hfill \cr - 3{m^2} + 24m - 44 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ m < 4 \hfill \cr \left[ \matrix{ m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr m \ge 4 + {{2\sqrt 3 } \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow m \le 4 - {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr}$

b)

+ Với m = 1, bất phương trình trở thành 4x + 3 > 0 , không thỏa mãn với mọi x

+ Với m = -1, bất phương trình trở thành 3> 0 thỏa mãn với mọi x

+ Với m ≠ -1, (m² - 1)x² + 2(m + 1) + 3 > 0 ∀x

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {m^2} - 1 > 0 \hfill \cr \Delta ‘ = {(m + 1)^2} - 3({m^2} - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr - 2{m^2} + 2m + 4 < 0 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ \left[ \matrix{ m < - 1 \hfill \cr m > 1 \hfill \cr} \right. \hfill \cr \left[ \matrix{ m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m < - 1 \hfill \cr m > 2 \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy với m ≤ -1 hoặc m > 2 thì bất phương trình đã cho có tập nghiệm là $\mathbb R$