Bài 2 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ...

Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MD}$.

Cách 1: Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép cộng vectơ:

$\overrightarrow{MA}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{MD}$ + $\overrightarrow{DC}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{MB}$ +$\overrightarrow{MD}$+ ($\overrightarrow{BA}$ +$\overrightarrow{DC}$)

$ABCD$ là hình bình hành nên hai vec tơ $\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{DC}$ là hai vec tơ đối nhau nên:

$\overrightarrow{BA}$ +$\overrightarrow{DC}$ = $\overrightarrow{0}$

Suy ra  $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MD}$.

Cách 2. Áp dụng quy tắc 3 điểm đối với phép trừ vec tơ

$\overrightarrow{AB}$= $\overrightarrow{MB}$ - $\overrightarrow{MA}$

$\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{MD}$ - $\overrightarrow{MC}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{CD}$ =  ($\overrightarrow{MB}$ +$\overrightarrow{MD}$) - ($\overrightarrow{MA}$ +$\overrightarrow{MC}$).

$ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CD}$ là hai vec tơ đối nhau, cho ta:

          $\overrightarrow{AB}$ +$\overrightarrow{CD}$ = $\overrightarrow{0}$

Suy ra:  $\overrightarrow{MA}$ + $\overrightarrow{MC}$ = $\overrightarrow{MB}$ + $\overrightarrow{MD}$.