Bài 5 trang 12 sgk hình học lớp 10: Bài 2. Tổng và hiệu của hai vectơ...

Bài 5. Cho tam giác $ABC$ cạnh $a$. Tính độ dài của các vectơ $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}- \overrightarrow{BC}$

Ta có $\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}$

$\left | \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC} \right | = \left | \overrightarrow{AC} \right |= a$

Ta có: $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{CB}$.

Trên tia $CB$, ta dựng $\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BE}= \overrightarrow{AE}$

Tam giác $EAC$ vuông tại $A$ (vì có đường trung tuyến $AB$ bằng nửa cạnh $CE$) có : $AC = a, CE = 2a$ , suy ra $AE = \sqrt {C{E^2} - A{C^2}}  = \sqrt {4{a^2} - {a^2}}  = a\sqrt 3$

Vậy $\left | \overrightarrow{AB } -\overrightarrow{BC}\right | = \left | \overrightarrow{AE} \right | = a\sqrt3$