Câu 10 trang 107 SGK Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.. Cho a>0, b>0. Chứng minh rằng:
Bài 10. Cho \(a>0, b>0\). Chứng minh rằng: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \)
Đặt \(x=\sqrt a, y = \sqrt b\) ( ta có \(x>0\) và \(y>0\))
\({a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}\)
Suy ra: \({a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}\) (1)
Advertisements (Quảng cáo)
Mà \(x^2+y^2≥ 2xy\) (Bất đẳng thức Cô-si)
Nên \(x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔\) \({{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1\)
Do đó (1) \({{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y\)
\(⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a + \sqrt b \)