Câu 10 trang 107 Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình....

Bài 10. Cho $a>0, b>0$. Chứng minh rằng: ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b$

Đặt $x=\sqrt a, y = \sqrt b$ ( ta có $x>0$ và $y>0$)

 ${a \over {\sqrt b }} = {{{x^2}} \over y};{b \over {\sqrt a }} = {{{y^2}} \over x}$

Suy ra: ${a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} = {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} = {{{x^3} + {y^3}} \over {xy}} = {{(x + y)({x^2} + {y^2} - xy)} \over {xy}}$ (1)

Mà $x^2+y^2≥ 2xy$ (Bất đẳng thức Cô-si)

Nên $x^2+y^2- xy ≥ xy ⇔$ ${{{x^2} + {y^2} - xy} \over {xy}} \ge 1$

Do đó (1) ${{{x^3} + {y^3}} \over {xy}}≥ x+y ⇔ {{{x^2}} \over y} + {{{y^2}} \over x} \ge x + y$

$⇔ {a \over {\sqrt b }} + {b \over {\sqrt a }} \ge \sqrt a  + \sqrt b$