Câu 6 trang 106 SGK Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình.. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng
Bài 6. Cho \(a, b, c > 0\). Chứng minh rằng: \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\)
Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:
\({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}\)
= \(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b})\)
Advertisements (Quảng cáo)
Ta biết với \(a, b, c > 0\) áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:
\(({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}} + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}} + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}} = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6\)
Vậy \({{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6\)