Câu 6 trang 106 SGK Đại số 10: Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức. Bất phương trình....

Bài 6. Cho $a, b, c > 0$. Chứng minh rằng: ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$

Vế trái bất đẳng thức có thể viết là:

${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b}$

= $({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b})$

Ta biết với $a, b, c > 0$ áp dụng bất đẳng thức cô-si ta có:

$({a \over c} + {c \over a}) + ({b \over c} + {c \over b}) + ({b \over a} + {a \over b}) \ge 2.\sqrt {{a \over c}.{c \over a}}  + 2.\sqrt {{b \over c}.{c \over b}}  + 2.\sqrt {{b \over a}.{a \over b}}  = 2.1 + 2.1 + 2.1 = 6$

Vậy ${{a + b} \over c} + {{b + c} \over a} + {{c + a} \over b} \ge 6$