Câu 7 trang 99 SGK Hình học 10: Cho tam giác ABC với H là trực tâm...

Bài 7. Cho tam giác $ABC$ với $H$ là trực tâm. Biết phương trình của đường thẳng $AB, BH$ và $AH$ lần lượt là: $4x + y – 12 = 0, 5x – 4y – 15 = 0$ và $2x + 2y – 9 = 0$

Hãy viết phương trình hai đường thẳng chứa hai cạnh còn lại và đường cao thứ ba.

Tọa độ đỉnh $A$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr 2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow A({5 \over 2},2)$

Đường thẳng $BH : 5x – 4y – 15 = 0$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow u  = (4,5)$

Cạnh $AC$ vuông góc với $BH$ nên nhận vecto u làm một vecto pháp tuyến, $AC$ đi qua $A({5 \over 2},2)$ và có vecto pháp tuyến $\overrightarrow u  = (4,5)$ nên có phương trình là:

 $4.(x - {5 \over 2}) + 5(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 4x + 5y - 20 = 0$

Tương tự, tọa độ đỉnh $B$ là nghiệm của hệ:

$\left\{ \matrix{ 4x + y - 12 = 0 \hfill \cr 6x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow B(3,0)$

$AH: 2x + 2y – 9 = 0$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow v  = ( - 2,2) = 2( - 1,1)$

$BC$ vuông góc với $AH$ nên nhận vecto $\overrightarrow {v’}  = ( - 1,1)$ làm vecto pháp tuyến, phương trình $BC$ là:

$- 1(x - 3) + (y - 0) = 0 \Leftrightarrow x - y - 3 = 0$

Tọa độ $H$ là nghiệm của hệ phương trình:

$\left\{ \matrix{ 5x - 4y - 15 = 0 \hfill \cr 2x + 2y - 9 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow H({{11} \over 3},{5 \over 6})$

Đường cao $CH$ đi qua $H$ và vuông góc với $AB$

Hoàn toàn tương tự, ta viết được phương trình của $CH$:

$CH: 3x – 12y – 1= 0$