Câu 5 trang 99 SGK Hình học 10: Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có...

Bài 5. Chứng minh rẳng trong mọi tam giác ABC ta đều có:

a) $a = b \cos C + c \cos B$

b) $\sin A = \sin B.\sin C + \sin C.\cos B$

c) $h_a= 2R.\sin B\sin C$

a) Trong tam giác $ABC$, theo định lí cosin ta có:

$\left\{ \matrix{ \cos C = {{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} \hfill \cr \cos B = {{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$\eqalign{ & b\cos C + c\cos B = b({{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}}) + c({{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}}) \cr & = {{2{a^2} + {b^2} - {c^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2a}} \cr}$

Vậy $a = b \cos C + c \cos B$

b) Trong tam giác $ABC$ , theo định lí sin:

$\eqalign{ & {a \over {\sin A}} = {b \over {{\mathop{\rm sinB}\nolimits} }} = {c \over {\sin C}} = 2R \cr & \Rightarrow \sin A = {a \over {2R}},\sin B = {b \over {2R}},\sin C = {c \over {2R}} \cr}$

 Ta có:

$\eqalign{ & \sin B\cos C + \sin C\cos B \cr & = {b \over {2R}}.{{{a^2} + {b^2} - {c^2}} \over {2ab}} + {c \over {2R}}.{{{a^2} + {c^2} - {b^2}} \over {2ac}} \cr & = {a \over {2R}} = \sin A \cr}$

c) Ta lại có: $a.{h_a} = 2S \Rightarrow {h_a} = {{2S} \over a}$

mà $S = {{abc} \over {4R}} \Rightarrow {h_a} = {{2bc} \over {4R}} = {{bc} \over {2R}}(2)$

Thế $b = 2RsinB, c = 2Rsin C$ vào (2) ta được:

${h_a} = {{2R{\mathop{\rm sinB}\nolimits} .2RsinC} \over {2R}} \Rightarrow {h_a} = 2R\sin B\sin C$