Bài 10 trang 46 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$, biết ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$.

a) Viết bốn số hạng đầu của dãy số.

b) Chứng minh rằng ${u_{n + 4}} = {u_n}$ với mọi $n \ge 1$.

c) Tính tổng 12 số hạng đầu của dãy số.

a) Thay $n = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ 3, 4}}$ vào công thức ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$để xác định 4 số hạng đầu của dãy số.

b) Thay $n$ bởi $n + 4$ vào công thức ${u_n} = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right]$để xác định ${u_{n + 4}}$ và chú ý rằng $\sin \left( {x + k2\pi } \right) = \sin x$.

c) Sử dụng kết quả câu b, ta có ${u_1} = {u_5} = {u_9}$, ${u_2} = {u_6} = {u_{10}}$,${u_3} = {u_7} = {u_{11}}$, ${u_4} = {u_8} = {u_{12}}$. Do đó tổng 12 số hạng đầu tiên bằng $3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right)$.

a) Ta có:

${u_1} = \sin \left[ {\left( {2.1 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{\pi }{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

${u_2} = \sin \left[ {\left( {2.2 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{3\pi }}{4} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

${u_3} = \sin \left[ {\left( {2.3 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{5\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

${u_4} = \sin \left[ {\left( {2.4 - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \frac{{7\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Như vậy 4 số hạng đầu của dãy số là: $\frac{{\sqrt 2 }}{2},\frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}, - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

b) Ta có:

${u_{n + 4}} = \sin \left\{ {\left[ {2\left( {n + 4} \right) - 1} \right]\frac{\pi }{4}} \right\} = \sin \left[ {\left( {2n - 1 + 8} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4} + 2\pi } \right] = \sin \left[ {\left( {2n - 1} \right)\frac{\pi }{4}} \right] = {u_n}$

Vậy ${u_{n + 4}} = {u_n}$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

c) Theo câu b, ta có ${u_{n + 4}} = {u_n}$ với $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Như vậy ${u_1} = {u_5} = {u_9}$, ${u_2} = {u_6} = {u_{10}}$,${u_3} = {u_7} = {u_{11}}$, ${u_4} = {u_8} = {u_{12}}$.

Do đó:

${u_1} + {u_2} + {u_3} + ... + {u_{12}} = 3\left( {{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4}} \right) = 3\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2} + \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0$