Bài 15 trang 50 SBT Toán 11 - Cánh diều: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?...

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. ${u_n} = {3^n}$

B. ${u_n} = 1 - 3n$

C. ${u_n} = {3^n} + 1$

D. ${u_n} = 3 + {n^2}$

Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$. Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$là cấp số cộng khi ${u_{n + 1}} - {u_n}$ là hằng số.

a) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = {3^{n + 1}} - {3^n} = {3^n}\left( {3 - 1} \right) = {2.3^n}$.

Do ${2.3^n}$ không là hằng số, nên dãy số này không là cấp số cộng.

b) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 - 3\left( {n + 1} \right) - \left( {1 - 3n} \right) = 1 - 3n - 3 - 1 + 3n = - 3$

Do $- 3$ là hằng số, nên dãy số này là cấp số cộng với công sai $d = - 3$.

c) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {{3^{n + 1}} + 1} \right) - \left( {{3^n} + 1} \right) = {3^n}\left( {3 - 1} \right) = {2.3^n}$.

Do ${2.3^n}$ không là hằng số, nên dãy số này không là cấp số cộng.

d) Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} = 3 + {\left( {n + 1} \right)^2} - \left( {3 + {n^2}} \right) = {\left( {n + 1} \right)^2} - {n^2} = 2n + 1$

Do $2n + 1$ không là hằng số, nên dãy số này không là cấp số cộng.

Đáp án đúng là B.