Trang chủ Lớp 11 SBT Toán 11 - Cánh diều Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 – Cánh diều: Tìm năm...

Bài 25 trang 50 SBT Toán 11 - Cánh diều: Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng...

Gọi năm số hạng liên tiếp của cấp số cộng cần tìm là \({u_1}, {u_2}, {u_3}, {u_4}, {u_5}\). Theo đề bài ta có hệ phương trình. Lời giải bài tập, câu hỏi - Bài 25 trang 50 sách bài tập toán 11 - Cánh diều - Bài 2. Cấp số cộng. Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng là 480...

Question - Câu hỏi/Đề bài

Tìm năm số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 40 và tổng bình phương của chúng là 480.

Method - Phương pháp giải/Hướng dẫn/Gợi ý

Gọi năm số hạng liên tiếp của cấp số cộng cần tìm là \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}\).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 40\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 = 480\end{array} \right.\)

Sử dụng công thức \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\) để đưa về hệ phương trình ẩn \({u_1}\) và \(d\).

Answer - Lời giải/Đáp án

Gọi năm số hạng liên tiếp của cấp số cộng cần tìm là \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5}\).

Theo đề bài ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 40\\u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 = 480\end{array} \right.\)

Do \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d\), nên ta có:

\({u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = {u_1} + {u_1} + d + {u_1} + 2d + {u_1} + 3d + {u_1} + 4d = 5{u_1} + 10d\)

Advertisements (Quảng cáo)

Ta suy ra \(5{u_1} + 10d = 40 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 8 \Leftrightarrow {u_1} = 8 - 2d\) (1)

Mặt khác, ta lại có:

\(u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 + u_4^2 + u_5^2 = u_1^2 + {\left( {{u_1} + d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 2d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 3d} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 4d} \right)^2}\)

\( = 5u_1^2 + 20{u_1}d + 30{d^2}\)

Ta suy ra \(5u_1^2 + 20{u_1}d + 30{d^2} = 480 \Leftrightarrow u_1^2 + 4{u_1}d + 6{d^2} = 96\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra

\({\left( {8 - 2d} \right)^2} + 4d\left( {8 - 2d} \right) + 6{d^2} = 96 \Leftrightarrow 4{d^2} - 32d + 64 + 32d - 8{d^2} + 6{d^2} = 96\)

\( \Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4\).

Với \(d = - 4\), ta suy ra \({u_1} = 16\). Từ đó năm số hạng liên tiếp cần tìm là 16, 12, 8, 4, 0.

Với \(d = 4\), ta suy ra \({u_1} = 0\). Từ đó năm số hạng liên tiếp cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Vậy năm số hạng liên tiếp của cấp số cộng cần tìm là 0, 4, 8, 12, 16.

Advertisements (Quảng cáo)