Bài 31 trang 55 SBT Toán 11 - Cánh diều: Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?...

Trong các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. ${u_n} = {5^n}$

B. ${u_n} = 1 + 5n$

C. ${u_n} = {5^n} + 1$

D. ${u_n} = 5 + {n^2}$

Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là cấp số nhân khi thương $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không đổi với mọi $n \ge 1$ và ${u_n} \ne 0$.

Nhận xét rằng trong mỗi dãy số đã cho, tất cả các số hạng đều khác 0.

a) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{5^{n + 1}}}}{{{5^n}}} = 5$. Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ là một hằng số, nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {5^n}$ là cấp số nhân.

b) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{1 + 5\left( {n + 1} \right)}}{{1 + 5n}} = \frac{{6 + 5n}}{{1 + 5n}}$

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số, nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + 5n$ không là cấp số nhân.

c) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{1 + {5^{n + 1}}}}{{1 + {5^n}}}$. Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số, nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = {5^n} + 1$ không là cấp số nhân.

d) Xét $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{5 + {{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{{5 + {n^2}}} = \frac{{{n^2} + 2n + 6}}{{{n^2} + 5}}$

Do $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$ không là một hằng số, nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 5 + {n^2}$ không là cấp số nhân.