Cho ba số \(\frac{2}{{b - a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Sử dụng tính chất của cấp số cộng: Với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng thì \({u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} = d\)
Sử dụng tính chất của cấp số nhân: Với dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số nhân thì \(\frac{{{u_{n + 2}}}}{{{u_{n + 1}}}} = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = q\).
Advertisements (Quảng cáo)
Ta có \(\frac{2}{{b - a}}\), \(\frac{1}{b}\), \(\frac{2}{{b - c}}\) theo thứ tự lập thành một cấp số cộng
\( \Rightarrow \frac{2}{{b - c}} - \frac{1}{b} = \frac{1}{b} - \frac{2}{{b - a}} \Rightarrow \frac{2}{{b - c}} + \frac{2}{{b - a}} = \frac{2}{b} \Rightarrow \frac{1}{{b - c}} + \frac{1}{{b - a}} = \frac{1}{b}\)
\( \Rightarrow \frac{{b - a + b - c}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow \frac{{2b - a - c}}{{\left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)}} = \frac{1}{b} \Rightarrow b\left( {2b - a - c} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {b - a} \right)\)
\(2{b^2} - ab - bc = {b^2} + ac - ab - bc \Rightarrow {b^2} = ac \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{c}{b}\)
Vậy ba số \(a\), \(b\), \(c\) theo thứ tự lập thành một cấp số nhân.
Bài toán được chứng minh.