Bài 42 trang 113 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình hộp $ABCD. A’B’C’D’$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CC’$...

Cho hình hộp $ABCD.A’B’C’D’$. Gọi $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $BC$, $CC’$, $C’D’$, $D’A’$, $AA’$. Chứng minh rằng:

a) Sáu điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ cùng thuộc một mặt phẳng.

b) Các đoạn thẳng $MQ$, $NR$, $PS$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

a) Chỉ ra rằng $RS\parallel NP$, $PQ\parallel MS$ và $QR\parallel MN$ để chỉ ra 6 điểm đồng phẳng.

b) Chứng minh rằng $MNQR$, $RSNP$ là các hình bình hành để suy ra điều phải chứng minh.

a) Do $R$ là trung điểm $A’D’$, $S$ là trung điểm $AA’$ nên $RS$ là đường trung bình của tam giác $A’AD’$. Suy ra $RS\parallel AD’$. Tương tự ta cũng có $NP\parallel BC’$.

Tứ giác $ABC’D’$ có $AB = C’D’$ và $AB\parallel C’D’$ nên là hình bình hành. Suy ra $AD’\parallel BC’$ và $AD’ = BC’$. Từ đó suy ra $RS\parallel NP$, và 4 điểm $R$, $S$, $N$, $P$ đồng phẳng.

Chứng minh tương tự ta có $PQ\parallel MS$ và $QR\parallel MN$.

Như vậy, 6 điểm $M$, $N$, $P$, $Q$, $R$, $S$ đồng phẳng. Bài toán được chứng minh.

b) Ta có $RS\parallel NP$.

Vì $RS$ là đường trung bình của tam giác $A’AD’$ nên $RS = \frac{1}{2}AD’$. Tương tự ta cũng có $NP = \frac{1}{2}BC’$. Do $AD’ = BC’$ nên $RS = NP$. Vậy tứ giác $RSNP$ là hình bình hành. Suy ra $NR$ và $PS$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường.

Chứng minh tương tự ta cũng có $MNQR$ là hình bình hành, từ đó ta có $NR$ và $MQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Do $O$ là trung điểm của $NR$, nên $O$ cũng là trung điểm của $MQ$.

Vậy ba đoạn thẳng $MQ$, $NR$ và $PS$ cắt nhau trung điểm $O$ của mỗi đường.

Bài toán được chứng minh.