Trong các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng tổng quát sau, dãy số tăng là:
A. \({u_n} = \frac{2}{{{3^n}}}\)
B. \({u_n} = \frac{3}{n}\)
C. \({u_n} = {2^n}\)
D. \({u_n} = {\left( { - 2} \right)^n}\)
Sử dụng các cách xác định dãy số tăng: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
Cách 1: Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng khi \(H > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Cách 2: Nếu \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}\). Khi đó, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) tăng khi \(T > 1\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Advertisements (Quảng cáo)
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{2}{{{3^{n + 1}}}}:\frac{2}{{{3^n}}} = \frac{2}{{{3^n}.3}}.\frac{{{3^n}}}{2} = \frac{1}{3}\).
Do \(T
b) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{3}{{n + 1}}:\frac{3}{n} = \frac{3}{{n + 1}}.\frac{n}{3} = \frac{n}{{n + 1}} = 1 - \frac{1}{{n + 1}}\).
Do \(T = 1 - \frac{1}{{n + 1}}
c) Ta thấy \({u_n} > 0\) với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
Xét thương \(T = \frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{2^n}}} = 2\).
Do \(T > 1\), dãy số đã cho là dãy số tăng.
d) Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n} = {\left( { - 2} \right)^{n + 1}} - {\left( { - 2} \right)^n} = {\left( { - 2} \right)^n}\left[ {\left( { - 2} \right) - 1} \right] = \left( { - 3} \right).{\left( { - 2} \right)^n}\)
Do với \(\forall n \in {\mathbb{N}^*}\), ta không thể xác định được dấu của \({\left( { - 2} \right)^n}\), do đó ta không thể kết luận được \(H 0\).
Do đó dãy số đã cho không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.
Đáp án đúng là C.