Bài 52 trang 57 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có tất cả các số hạng đều không âm và ${u_2} = 6$...

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có tất cả các số hạng đều không âm và ${u_2} = 6$, ${u_4} = 24$. Tổng 10 số hạng đầu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:

A. $3\left( {1 - {2^{10}}} \right)$

B. $3\left( {{2^9} - 1} \right)$

C. $3\left( {{2^{10}} - 1} \right)$

D. $3\left( {1 - {2^9}} \right)$

Do tất cả các số hạng đều không âm nên công bội $q$ không âm.

Sử dụng công thức ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$ để tìm công bội $q$ và số hạng đầu ${u_1}$.

Sử dụng công thức ${S_n} = {u_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$ để tính tổng $n$ số hạng đầu của cấp số nhân.

Do tất cả các số hạng đều không âm nên công bội $q$ không âm.

Ta có ${u_2} = {u_1}q$ và ${u_4} = {u_1}{q^3} = \left( {{u_1}q} \right){q^2}$

Do ${u_2} = 6$, ${u_4} = 24$, ta suy ra $6{q^2} = 24 \Rightarrow {q^2} = 4 \Rightarrow q = 2$ (do $q$ không âm).

Từ đó, số hạng đầu ${u_1} = \frac{{{u_2}}}{q} = \frac{6}{2} = 3$.

Vậy tổng 10 số hạng đầu của $\left( {{u_n}} \right)$ là:

${S_{10}} = {u_1}\frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = 3\frac{{1 - {2^{10}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{10}} - 1} \right)$

Đáp án đúng là C.