Bài 6 trang 95 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC, {\rm{ }}CD$ lần lượt lấy các điểm \(E...

Cho tứ diện $ABCD$. Trên các cạnh $AC,{\rm{ }}CD$ lần lượt lấy các điểm $E,{\rm{ }}F$ sao cho $CE = 3EA,{\rm{ }}DF = 2FC$.

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$, $\left( {ACD} \right)$, $\left( {BCD} \right)$.

b) Xác định giao điểm $K$ của đường thẳng $AD$ với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$.

a) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

b) Để xác định giao điểm của đường thẳng $AD$ với mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$, cần chọn 1 đường thẳng trong mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$, và tìm giao điểm của đường thẳng đó với đường thẳng $AD$.

c) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

a)

Giao tuyến của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$:

Ta có $B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)$.

Mặt khác, ta có $\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ABC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABC} \right)$.

Như vậy giao tuyển của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ABC} \right)$ là đường thẳng $BE$.

Giao tuyến của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)$.

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}E \in \left( {BEF} \right)\\E \in AC \subset \left( {ACD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ACD} \right)$.

Như vậy giao tuyển của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ACD} \right)$ là đường thẳng $EF$.

Giao tuyến của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$:

Ta có $B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)$

Mặt khác, $\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {BEF} \right)\\F \in CD \subset \left( {BCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {BCD} \right)$

Như vậy giao tuyển của $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {BCD} \right)$ là đường thẳng $BF$.

b) Trên mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$, lấy $K$ là giao điểm của $AD$ và $EF$.

Ta có $\left\{ K \right\} = AD \cap EF$, mà $EF \subset \left( {BEF} \right)$.

Suy ra $\left\{ K \right\} = AD \cap \left( {BEF} \right)$, tức $K$ là giao điểm của $AD$ và $\left( {BEF} \right)$.

c) Ta có $B \in \left( {BEF} \right) \cap \left( {ABD} \right)$.

Theo câu b, ta có $K \in AD \cap \left( {BEF} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}K \in AD\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right.$

Mà $AD \in \left( {ABD} \right)$ nên ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l}K \in \left( {ABD} \right)\\K \in \left( {BEF} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {ABD} \right) \cap \left( {BEF} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {BEF} \right)$ và $\left( {ABD} \right)$ là đường thẳng $BK$.