Bài 7 trang 95 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi \(M, {\rm{ }}N...

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,{\rm{ }}N,{\rm{ }}P$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $SA,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD$.

a) Xác định giao điểm của đường thẳng $NP$ với mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ với các mặt phẳng $\left( {SAB} \right),{\rm{ }}\left( {SAD} \right),{\rm{ }}\left( {SBC} \right){\rm{, }}\left( {SCD} \right)$.

a) Để xác định giao điểm của đường thẳng $NP$ và mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, ta cần chọn một đường thẳng trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, rồi tìm giao điểm của đường thẳng đó với đường thẳng $NP$.

b) Để xác định giao tuyến của hai mặt phẳng, ta cần tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng đó.

a) Xét mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và $NP$.

Ta có $\left\{ E \right\} = AB \cap NP$, mà $NP \subset \left( {MNP} \right)$ nên $\left\{ E \right\} = \left( {SAB} \right) \cap NP$.

b)

Giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SAB} \right)$:

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAB} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)$.

Mặt khác, theo câu a, ta có $\left\{ \begin{array}{l}E \in AB \subset \left( {SAB} \right)\\E \in NP \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {SAB} \right) \cap \left( {MNP} \right)$.

Từ đó, giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ là đường thẳng $ME$.

Giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SAD} \right)$:

Trên mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, gọi $F$ là giao điểm của $AD$ và $NP$.

Vì $F$ là giao điểm của $AD$ và $NP$, ta suy ra $\left\{ \begin{array}{l}F \in AD\\F \in NP\end{array} \right.$.

Do $AD \subset \left( {SAD} \right)$, $NP \subset \left( {MNP} \right)$ nên ta có $\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( {SAD} \right)\\F \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)$.

Hơn nữa, ta cũng có $\left\{ \begin{array}{l}M \in SA \subset \left( {SAD} \right)\\M \in \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow M \in \left( {SAD} \right) \cap \left( {MNP} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ là đường thẳng $MF$.

Giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SBC} \right)$:

Ta có $ME$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$$\Rightarrow ME \subset \left( {SAB} \right)$.

Trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, gọi $\left\{ K \right\} = ME \cap SB$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}K \in ME \subset \left( {MNP} \right)\\K \in SB \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow K \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Hơn nữa, ta có $\left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {MNP} \right)\\N \in BC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow N \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ là đường thẳng $NK$.

Giao tuyến của $\left( {MNP} \right)$ và $\left( {SCD} \right)$:

Ta có $MF$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$$\Rightarrow MF \subset \left( {SAD} \right)$.

Trên mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi $\left\{ L \right\} = MF \cap SD$.

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}L \in MF \subset \left( {MNP} \right)\\L \in SD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow L \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Hơn nữa, ta có $\left\{ \begin{array}{l}P \in \left( {MNP} \right)\\P \in CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow P \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SCD} \right)$.

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ và $\left( {MNP} \right)$ là đường thẳng $LP$.