Bài 60 trang 30 SBT Toán 11 - Cánh diều: Giải phương trình: $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$ \(\cos \left(...

Giải phương trình:

a) $\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$

b) $\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)$

c*) ${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = {\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)$

d*) ${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = {\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$

e) $\cos x + \sin x = 0$

g) $\sin x - \sqrt 3 \cos x = 0$

a) Sử dụng kết quả $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Sử dụng công thức $\sin \alpha = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)$ và $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) Sử dụng công thức ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$ và kết quả $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$ $\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

d) Sử dụng các công thức ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$, ${\cos ^2}x = \frac{{1 + \cos 2x}}{2}$ và kết quả $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

e) Sử dụng công thức $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right)$, để phương trình trở thành $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$.

Sử dụng kết quả $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

f) Nhận xét, nếu $\cos x = 0$ thì $\sin x = 0$. Điều này là vô lí, do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

Như vậy $\cos x \ne 0$. Biến đổi phương trình trở thành $\tan x = \sqrt 3$.

Sử dụng kết quả $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

a) Ta có:

$\sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x - \frac{\pi }{4} = x + \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x - \frac{\pi }{4} = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\4x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{13\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

b) Ta có $\sin \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{4} + x} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + x} \right)$. Phương trình trở thành:

$\cos \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = - \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{7\pi }}{{12}} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

c) Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:

${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2}$,

${\sin ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2}$

Phương trình trở thành:

$\frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {4x + \pi } \right)$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{2} = 4x + \pi + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{2} = - \left( {4x + \pi } \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\6x = - \frac{{3\pi }}{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{3}$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

d) Sử dụng công thức hạ bậc, ta có:

${\cos ^2}\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{1 + \cos \left[ {2\left( {2x + \frac{\pi }{2}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2}$

${\sin ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}$

Phương trình trở thành:

$\frac{{1 + \cos \left( {4x + \pi } \right)}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2} \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \pi } \right) = - \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$

Mặt khác, ta có $- \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {\pi + 2x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$.

Phương trình trở thành:

$\cos \left( {4x + \pi } \right) = \cos \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \pi = 2x + \frac{{4\pi }}{3} + k2\pi \\4x + \pi = - \left( {2x + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{{7\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{{7\pi }}{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

e) Ta có $\frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\sin x + \cos x} \right) = \sin x\cos \frac{\pi }{4} + \cos x\sin \frac{\pi }{4} = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Do đó, $\cos x + \sin x = 0 \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0$

$\Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

f) Nếu $\cos x = 0$ thì $\sin x = 0$. Điều này là vô lí, do ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$.

Như vậy $\cos x \ne 0$. Phương trình trở thành:

$\sin x = \sqrt 3 \cos x \Leftrightarrow \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \tan x = \sqrt 3$

Ta có $\tan \frac{\pi }{3} = \sqrt 3$. Phương trình trở thành $\tan x = \tan \frac{\pi }{3} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi$$\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$