Bài 71 trang 32 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho $\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$. Chứng minh rằng \({\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha...

Cho $\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$.

a) Chứng minh rằng ${\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}$.

b) Tính $\sin 2\alpha$.

a) Sử dụng công thức ${\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}$, $\sin x = \cos \left( {{{90}^o} - x} \right)$.

b) Áp dụng kết quả câu a.

a) Ta có: ${\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \cos \left[ {2\left( {{{45}^o} - \alpha } \right)} \right]}}{2} = \frac{{1 - \cos \left( {{{90}^o} - 2\alpha } \right)}}{2} = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2}$

Bài toán được chứng minh.

b) Theo câu a ta có:

${\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{{1 - \sin 2\alpha }}{2} \Rightarrow \sin 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\left( {{{45}^o} - \alpha } \right)$

Do $\sin \left( {{{45}^o} - \alpha } \right) = \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$nên $\sin 2\alpha = 1 - 2{\left( {\frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^2} = \frac{3}{4}$