Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a√2a√2. Biết rằng SA=SB=SC=SD,SO=2a√2SA=SB=SC=SD,SO=2a√2.
a) Chứng minh rằng SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD).
b) Tính độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác SAC.
Sử dụng kiến thức về định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để chứng minh: Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (α)(α) thì d⊥(α)d⊥(α).
a) Vì ABCD là hình vuông tâm O nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.
Vì SA=SCSA=SC nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SAC. Do đó, SO⊥ACSO⊥AC
Vì SB=SDSB=SD nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác SBD. Do đó, SO⊥BDSO⊥BD
Advertisements (Quảng cáo)
Vì SO⊥ACSO⊥AC, SO⊥BDSO⊥BD, AC và BD cắt nhau và nằm trong mặt phẳng (ABCD).
Do đó, SO⊥(ABCD)SO⊥(ABCD)
b) Kẻ AH⊥SC(H∈SC)AH⊥SC(H∈SC)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B có:
AC=√AB2+BC2=√(a√2)2+(a√2)2=2aAC=√AB2+BC2=√(a√2)2+(a√2)2=2a
Suy ra: OC=AC2=aOC=AC2=a
Vì SO⊥(ABCD),OC⊂(ABCD)⇒SO⊥OCSO⊥(ABCD),OC⊂(ABCD)⇒SO⊥OC
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác SOC vuông tại O có:
SC=√OC2+SO2=√a2+(2a√2)2=3aSC=√OC2+SO2=√a2+(2a√2)2=3a
Ta có: AH.SC=SO.AC(=2SΔSAC)⇒AH=SO.ACSC=2a√2.2a3a=4a√23AH.SC=SO.AC(=2SΔSAC)⇒AH=SO.ACSC=2a√2.2a3a=4a√23