Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết SA=a√62.
Sử dụng kiến thức về khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng để tính: Nếu H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) thì độ dài đoạn thẳng MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến (P), kí hiệu d(M; (P)).
Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, AE⊥BC
Ta có: SA⊥(ABC),BC⊂(ABC)⇒SA⊥BC, mà AE⊥BC. Suy ra: BC⊥(SAE)
Advertisements (Quảng cáo)
Kẻ AF⊥SE(S∈SE). Vì BC⊥(SAE)⇒BC⊥AF
Ta có: BC⊥AF,AF⊥SE, BC và SE cắt nhau tại E và nằm trong mặt phẳng (SBC) nên AF⊥(SBC). Khi đó, AF là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Vì tam giác ABC đều nên ^ABC=600.
Tam giác ABE vuông tại E có: AE=AB.sin^ABC=a√32
Vì SA⊥(ABC),AE⊂(ABC)⇒SA⊥AE
Tam giác AES vuông tại A, có AF là đường cao nên:
1AF2=1AE2+1SA2=43a2+46a2=2a2⇒AF=a√22