Bài 2 trang 26 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau...

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{\sin 3x}}{x}$;

b) $y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}$;

c) $y = x\sqrt {1 + \cos 2x}$;

d) $y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}$;

e) $y = \left| x \right| + \tan x$;

g) $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

Sử dụng kiến thức về tính chẵn lẻ của hàm số để xét tính chẵn lẻ của hàm số: Hàm số $y = f\left( x \right)$ với tập xác định D được gọi là:

+ Hàm số chẵn nếu với mọi $x \in D$ ta có: $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)$.

+ Hàm số lẻ nếu với mọi $x \in D$ ta có: $- x \in D$ và $f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)$.

a) Tập xác định của hàm số $y = \frac{{\sin 3x}}{x}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$ thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$.

Ta có: $\frac{{\sin \left( { - 3x} \right)}}{{ - x}} = \frac{{ - \sin 3x}}{{ - x}} = \frac{{\sin 3x}}{x}$. Do đó, hàm số $y = \frac{{\sin 3x}}{x}$ là hàm số chẵn.

b) Tập xác định của hàm số $y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}$ là $D = \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$

Ta có: $- 5{\left( { - x} \right)^2} + \cos \frac{{ - x}}{2} = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}$. Do đó, hàm số $y = - 5{x^2} + \cos \frac{x}{2}$ là hàm số chẵn.

c) Tập xác định của hàm số $y = x\sqrt {1 + \cos 2x}$ là $D = \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$

Ta có: $\left( { - x} \right)\sqrt {1 + \cos \left( { - 2x} \right)} = - x\sqrt {1 + \cos 2x}$. Do đó, hàm số $y = x\sqrt {1 + \cos 2x}$ là hàm số lẻ.

d) Tập xác định của hàm số $y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$ thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$.

Ta có: $\cot \left( { - x} \right) - \frac{2}{{\sin \left( { - x} \right)}} = - \cot x + \frac{2}{{\sin x}} = - \left( {\cot x - \frac{2}{{\sin x}}} \right)$. Do đó, hàm số $y = \cot x - \frac{2}{{\sin x}}$ là hàm số lẻ.

e) Tập xác định của hàm số $y = \left| x \right| + \tan x$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$ thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$.

Ta có: $\left| { - x} \right| + \tan \left( { - x} \right) = x - \tan x$. Do đó, hàm số $y = \left| x \right| + \tan x$ không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ

g) Tập xác định của hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ là $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{4} + k\pi \left| {k \in \mathbb{Z}} \right.} \right\}$ không thỏa mãn điều kiện $- x \in D$ với mọi $x \in D$ vì $\frac{{ - \pi }}{4} \in D$ nhưng $\frac{\pi }{4}\cancel{ \in }D$

Do đó, hàm số $y = \tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$ không là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.