Bài 2 trang 73 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằngHình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng...

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm I của cạnh AB. Biết rằng mặt bên (SAB) là tam giác vuông cân tại S. Xác định và tính góc giữa:

a) SA và (ABC);

b) SC và (SAB).

Sử dụng kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng để tính:

+ Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a với (P) bằng ${90^0}$.

+ Nếu đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa đường thẳng a và hình chiếu a’ của a trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và (P).

a) Vì $SI \bot \left( {ABC} \right)$ nên I là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Do đó, $\left( {SA,\left( {ABC} \right)} \right)$ $= \left( {SA,AI} \right)$ $= \widehat {SAI}$

Vì tam giác SAB vuông cân tại S nên $\widehat {SAI}$ $= {45^0}$

b) Tam giác ABC đều nên CI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $IC \bot AB$. Lại có: $SI \bot IC\left( {do\;SI \bot \left( {ABC} \right)} \right)$ nên $IC \bot \left( {SAB} \right)$

Suy ra, I là hình chiếu của C lên mặt phẳng (SAB). Do đó, $\left( {SC,\left( {SAB} \right)} \right)$ $= \left( {SC,SI} \right)$ $= \widehat {CSI}$

Tam giác ABC đều nên $IC$ $= \frac{{AB\sqrt 3 }}{2}$ $= \frac{{3\sqrt 3 }}{3}$

Tam giác SAB vuông cân tại S nên SI là đường trung tuyến nên $SI$ $= AI$ $= \frac{1}{2}AB$ $= \frac{3}{2}$

Tam giác SIC vuông tại I nên $\tan \widehat {ISC}$ $= \frac{{IC}}{{SI}}$ $= \frac{{\frac{{3\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{3}{2}}}$ $= \sqrt 3$ $\Rightarrow \widehat {ISC}$ $= {60^0}$