Bài 3 trang 43 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau...

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = {\left( {1 + {x^2}} \right)^{20}}$;

b) $y = \frac{{2 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x’$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u’$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x’ = y_u’.u_x’$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính:

a) ${\left[ {u\left( x \right)} \right]^\alpha } = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]’$

b) ${\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$

a) $y’$ $= \left[ {{{\left( {1 + {x^2}} \right)}^{20}}} \right]’$ $= \left( {1 + {x^2}} \right)’.20{\left( {1 + {x^2}} \right)^{19}}$ $= 40x{\left( {1 + {x^2}} \right)^{19}}$

b) $y’$ $= {\left( {\frac{{2 + x}}{{\sqrt {1 - x} }}} \right)’}$ $= \frac{{\left( {2 + x} \right)’\sqrt {1 - x} - \left( {\sqrt {1 - x} } \right)’\left( {2 + x} \right)}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}}$ $= \frac{{\sqrt {1 - x} - \frac{{\left( {1 - x} \right)’}}{{2\sqrt {1 - x} }}\left( {2 + x} \right)}}{{\sqrt {1 - x} }}$ $= \frac{{\sqrt {1 - x} + \frac{{x + 2}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}$ $= \frac{{2 - 2x + x + 2}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}$ $= \frac{{ - x + 4}}{{2\sqrt {1 - x} \left( {1 - x} \right)}}$