Bài 4 trang 43 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau...

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x}{{\sin x - \cos x}}$;

b) $y = \frac{{\sin x}}{x}$;

c) $y = \sin x - \frac{1}{3}{\sin ^3}x;$

d) $y = \cos \left( {2\sin x} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x’$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u’$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x’ = y_u’.u_x’$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính:

a) ${\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$, $\left( {\sin x} \right)’ = \cos x$, $\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x$, $x’ = 1$

b) ${\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$, $\left( {\sin x} \right)’ = \cos x$, $x’ = 1$

c) $\left( {u - v} \right)’ = u’ - v’$, ${\left[ {u\left( x \right)} \right]^\alpha } = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^\alpha }\left[ {u\left( x \right)} \right]’$

d) $\left( {\sin u\left( x \right)} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)’\cos u\left( x \right)$, $\left( {\cos u\left( x \right)} \right)’ = - \left( {u\left( x \right)} \right)’\sin u\left( x \right)$

a) $y’$ $= {\left( {\frac{x}{{\sin x - \cos x}}} \right)’}$ $= \frac{{x’\left( {\sin x - \cos x} \right) - x\left( {\sin x - \cos x} \right)’}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sin x - \cos x - x\left( {\cos x + \sin x} \right)}}{{{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}}}$

b) $y’$ $= {\left( {\frac{{\sin x}}{x}} \right)’}$ $= \frac{{\left( {\sin x} \right)’x - x’\sin x}}{{{x^2}}}$ $= \frac{{x\cos x - \sin x}}{{{x^2}}}$;

c) $y’$ $= {\left( {\sin x - \frac{1}{3}{{\sin }^3}x} \right)’}$ $= \cos x - \frac{1}{3}.3{\sin ^2}x\left( {\sin x} \right)’$ $= \cos x - {\sin ^2}x\cos x$

$= \cos x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right)$ $= {\cos ^3}x$;

d) $y’$ $= \left[ {\cos \left( {2\sin x} \right)} \right]’$ $= - \left( {2\sin x} \right)’.\sin \left( {2\sin x} \right)$ $= - 2\cos x.\sin \left( {2\sin x} \right)$.