Bài 5 trang 43 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau...

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) $y = x\sin 2x$;

b) $y = {\cos ^2}x$;

c) $y = {x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm cấp hai của hàm số: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đạo hàm tại mọi $x \in \left( {a;b} \right)$ thì ta có hàm số $y’ = f’\left( x \right)$ xác định trên $\left( {a;b} \right)$. Nếu hàm số $y’ = f’\left( x \right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của $y’$ là đạo hàm cấp hai của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại x và kí hiệu là $y”$ hoặc $f”\left( x \right)$.

+ Sử dụng một số quy tắc tính đạo hàm:

a) $\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’$, $\left( {\sin u\left( x \right)} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)’\cos u\left( x \right)$, $x’ = 1$, $\left( {u + v} \right)’ = u’ + v’$, $\left( {\cos u\left( x \right)} \right)’ = - \left( {u\left( x \right)} \right)’\sin u\left( x \right)$

b) $\left\{ {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right\}’ = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]’;\left( {\cos x} \right)’ = - \sin x$, $\left( {\sin u\left( x \right)} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)’\cos u\left( x \right)$

c) $\left( {u \pm v} \right)’ = u’ \pm v’$, $\left( {{x^\alpha }} \right)’ = \alpha .{x^{\alpha - 1}}\left( {x > 0} \right)$

a) $y’$ $= \left( {x\sin 2x} \right)’$ $= x’\sin 2x + x\left( {\sin 2x} \right)’$ $= \sin 2x + 2x\cos 2x$

$\Rightarrow y”$ $= \left( {\sin 2x + 2x\cos 2x} \right)’$ $= 2\cos 2x + 2x’\cos 2x + 2x\left( {\cos 2x} \right)’$

$= 2\cos 2x + 2\cos 2x - 4x\sin 2x$ $= 4\cos 2x - 4x\sin 2x$

b) $y’$ $= \left( {{{\cos }^2}x} \right)’$ $= 2\left( {\cos x} \right)’\cos x$ $= - 2\cos x\sin x$ $= - \sin 2x$

$\Rightarrow y”$ $= \left( { - \sin 2x} \right)’$ $= - 2\cos 2x$

c) $y’$ $= \left( {{x^4} - 3{x^3} + {x^2} - 1} \right)’$ $= 4{x^3} - 9{x^2} + 2x$$\Rightarrow y”$ $= \left( {4{x^3} - 9{x^2} + 2x} \right)’$ $= 12{x^2} - 18x + 2$