Chứng minh các đẳng thức sau:
a) \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} = \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\);
b) \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} = \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)
Sử dụng kiến thức về giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt:
a) \(\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( { - \alpha } \right) = - \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{180}^0} + \alpha } \right) = - \sin \alpha \), \(\)\(\cot \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \tan \alpha \)
b) \(\sin \left( {{{180}^0} - \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{360}^0} + \alpha } \right) = \sin \alpha \), \(\sin \left( {{{90}^0} - \alpha } \right) = \cos \alpha \)
a) Ta có: \(\sin {605^0} \) \(= \sin \left( {{{2.360}^0} - {{115}^0}} \right) \) \(= \sin \left( { - {{115}^0}} \right) \) \(= - \sin \left( {{{180}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= - \sin {65^0}\)
\(\sin {1645^0} \) \(= \sin \left( {{{4.360}^0} + {{180}^0} + {{25}^0}} \right) \) \(= - \sin {25^0} \) \(= - \sin \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= - \cos {65^0}\)
\(\cot {25^0} \) \(= \cot \left( {{{90}^0} - {{65}^0}} \right) \) \(= \tan {65^0}\)
Do đó, \({\sin ^2}{605^0} + {\sin ^2}{1645^0} + {\cot ^2}{25^0} \) \(= {\sin ^2}{65^0} + {\cos ^2}{65^0} + {\tan ^2}{65^0}\)
\( \) \(= 1 + {\tan ^2}{65^0} \) \(= \frac{1}{{{{\cos }^2}{{65}^0}}}\)
b) Ta có: \(\sin {530^0} \) \(= \sin \left( {{{3.180}^0} - {{10}^0}} \right) \) \(= \sin {10^0}\),
\(\sin {640^0} \) \(= \sin \left( {{{4.180}^0} - {{80}^0}} \right) \) \(= - \sin {80^0} \) \(= - \sin \left( {{{90}^0} - {{10}^0}} \right) \) \(= - \cos {10^0}\)
Do đó, \(\frac{{\sin {{530}^0}}}{{1 + \sin {{640}^0}}} \) \(= \frac{{\sin {{10}^0}}}{{1 - \cos {{10}^0}}} \) \(= \frac{{{{\sin }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}}\)
\( \) \(= \frac{{1 - {{\cos }^2}{{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)\left( {1 + \cos {{10}^0}} \right)}}{{\sin {{10}^0}\left( {1 - \cos {{10}^0}} \right)}} \) \(= \frac{{1 + \cos {{10}^0}}}{{\sin {{10}^0}}} \) \(= \frac{1}{{\sin {{10}^0}}} + \cot {10^0}\)