Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp tứ giác đều $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$...

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}$. Gọi $SM,SN$ lần lượt là đường cao của tam giác $SAD$ và tam giác $SBC$.

a) Chứng minh rằng $\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Tính số đo của góc nhị diện $[S,AD,B]$.

Xác định

c) Tính theo a thể tích khối chóp $S.ABCD$.

a) Chứng minh rằng $\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

Chứng minh mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ chứa $BC \bot$ $\left( {SMN} \right).$

b) Tính số đo của góc nhị diện $[S,AD,B]$.

• Xác định được $\left[ {S,AD,B} \right] = \widehat {SMO}$
• Tính $\widehat {SMO}$

c) Tính theo a thể tích khối chóp $S.ABCD$.

• Gọi $O = AC \cap BD$
• Tính chiều cao $SO,{S_{ABCD}}$
• Tính thể tích khối chóp $S.ABCD = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}$.

a) Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$.

Ta có: $AD \bot SM,AD//BC$ nên $BC \bot SM$, mà $BC \bot SN$, suy ra $BC \bot \left( {SMN} \right).$

Do đó $\left( {SMN} \right) \bot \left( {ABCD} \right)$.

b) Vì $MN$ đi qua $O$ và $OM \bot AD,SM \bot AD$ nên $\left[ {S,AD,B} \right] = \widehat {SMO}$, ta tính được$SM = SN = MN = a$. Do đó tam giác $SMN$ đều, suy ra $\widehat {SMN} = {60^ \circ }$.

Vậy $\left[ {S,AD,B} \right] = {60^ \circ }$.

c) Ta có: $SO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},{S_{ABCD}} = {a^2}$, suy ra ${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3} \cdot {S_{ABCD}} \cdot SO = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}$.