Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ có cạnh bằng a. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,AD.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′.
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A′B.
a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A′B′D′.
Áp dụng công thức V=13⋅AA′⋅(SAMN+SA′B′D′+√SAMN⋅SA′B′D′)
b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A′B.
- Tìm mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song song với đường thẳng còn lại: MN//(A′BD)
- d(MN,A′B)=d(MN,(A′BD))=d(M,(A′BD))=12d(A,(A′BD))
- Đặt h=d(A,(A′BD)) thì \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{‘}}2}}}} \Rightarrow h \Rightarrow d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {MN,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right)
Vậy d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.
Advertisements (Quảng cáo)
a) Ta có:
{S_{A’B’D’}} = \frac{{{a^2}}}{2};{S_{AMN}} = \frac{{{a^2}}}{8};{S_{ABCD}} = {a^2};AA’ = a, suy ra thể tích khối chóp cụt AMN \cdot A’B’D’ là:
V = \frac{1}{3} \cdot AA’ \cdot \left( {{S_{AMN}} + {S_{A’B’D’}} + \sqrt {{S_{AMN}} \cdot {S_{A’B’D’}}} } \right)
= \frac{1}{3} \cdot a \cdot \left( {\frac{{{a^2}}}{8} + \frac{{{a^2}}}{2} + \sqrt {\frac{{{a^2}}}{8} \cdot \frac{{{a^2}}}{2}} } \right) = \frac{{7{a^3}}}{{24}}{\rm{.\;}}
b) Vì MN//BD nên MN//\left( {A’BD} \right), do đó:
d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {MN,\left( {A’BD} \right)} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right).
Vì M là trung điểm của AB nên d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right).
Đặt h = d\left( {A,\left( {A’BD} \right)} \right) thì \frac{1}{{{h^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{A^{{\rm{‘}}2}}}} = \frac{3}{{{a^2}}}, suy ra h = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}.
Vậy d\left( {MN,A’B} \right) = d\left( {M,\left( {A’BD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.