Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }, AB = 2a...

Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có $\widehat {BAC} = {60^ \circ },AB = 2a,AC = 3a$ và số đo của góc nhị diện $\left[ {A’,BC,A} \right]$ bằng ${45^ \circ }$.

a) Tính theo $a$ khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$.

b) Tính theo $a$ thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$.

a) Tính theo a khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {A’BC} \right)$.

• Dựng $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H,AK$ vuông góc với $A’H$ tại $K$
• Chứng minh $AK \bot \left( {A’BC} \right)$, suy ra $A’H \bot BC$.
• Góc nhị diện $\left[ {A’,BC,A} \right]$ bằng $\widehat {AHA’}$, suy ra $\widehat {AHA’} = {45^ \circ }$ suy ra tam giác $AHA’$vuông cân.
• Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác $ABC$ tính $BC$.
• $AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}}$.
• $AK = \frac{1}{2}A’H$.

b) Tính theo a thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$.

${V_{ABC,A’B’C’}} = {S_{ABC}} \cdot AA’$

a) Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H,AK$ vuông góc với $A’H$ tại $K$ thì $AK \bot \left( {A’BC} \right)$, suy ra $A’H \bot BC$.

Góc nhị diện $\left[ {A’,BC,A} \right]$ bằng $\widehat {AHA’}$, suy ra $\widehat {AHA’} = {45^ \circ }$.

Theo định li côsin, áp dụng cho tam giác $ABC$, ta có:

$B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC} = 7{a^2}$, suy ra $BC = a\sqrt 7$.

Do đó $AH = \frac{{2.{S_{ABC}}}}{{BC}} = \frac{{AB.AC.{\rm{sin}}\widehat {BAC}}}{{BC}} = \frac{{3\sqrt {21} }}{7}a$.

Vì tam giác $AHA’$ vuông cân tại $A$ nên $AK = \frac{{A’H}}{2} = \frac{{AH\sqrt 2 }}{2} = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a$.

Vậy $d\left( {A,\left( {A’BC} \right)} \right) = \frac{{3\sqrt {42} }}{{14}}a$.

b) Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ là ${V_{ABC,A’B’C’}} = {S_{ABC}} \cdot AA’ = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}{60^ \circ } \cdot AA’ = \frac{{27\sqrt 7 }}{{14}}{a^3}$