Câu 10 trang 222 SBT Hình 11 nâng cao: Khi đó ta có:...

Cho phép vị tự V có tâm O tỉ số k và phép vị tự V’ có tâm O’ tỉ số k’, biết rằng O, O’ là hai điểm phân biệt và kk’ = 1. Chứng minh rằng hợp thành của V và V’ là một phép tịnh tiến.

Lấy điểm M tùy ý và giả sử V biến điểm M thành điểm N và V’ biến điểm N thành điểm M’.

Khi đó ta có:

$\overrightarrow {ON}  = k\overrightarrow {OM}$ và $\overrightarrow {O’M’}  = k’\overrightarrow {O’N}$. (chú ý rằng kk’ = 1)

Suy ra

$\eqalign{  & \overrightarrow {OO’}  = \overrightarrow {OM}  + \overrightarrow {MM’}  + \overrightarrow {M’O’}   \cr  &  = {1 \over k}\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {MM’}  - k’\overrightarrow {O’N}   \cr  &  = \overrightarrow {MM’}  + {1 \over k}\left( {\overrightarrow {ON}  + \overrightarrow {NO’} } \right)  \cr  &  = \overrightarrow {MM’}  + {1 \over k}\overrightarrow {OO’}  \cr}$

Như vậy, ta có $\overrightarrow {MM’}  = \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {OO’}$               (*)

Vì phéo hợp thành của V và V’ biến M thành M’ nên từ (*) ta suy ra phép hợp thành đó là phép tịnh tiến theo vectơ $\left( {1 - k’} \right)\overrightarrow {OO’}$.